Question

Найдите частное решение дифференциального уравнения.
y’’-6y’+9y=0 если у(0) = 2, у’(0)=-1

Answer 1

$y''-6y'+9y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-6\lambda+9=0$

$(\lambda-3)^2=0$

$\lambda_1=\lambda_2=3$

Общее решение уравнения:

$Y=C_1e^{3x}+C_2xe^{3x}$

Рассмотрим начальные условия.

Первое:

$y(0) = 2$

$C_1e^{3\cdot0}+C_2\cdot0\cdot e^{3\cdot0}=2$

$C_1+0=2$

$C_1=2$

Для второго дополнительно найдем производную:

$Y'=3C_1e^{3x}+C_2e^{3x}+3C_2xe^{3x}$

$y'(0) = -1$

$3C_1e^{3\cdot0}+C_2e^{3\cdot0}+3C_2\cdot0\cdot e^{3\cdot0}=-1$

$3C_1+C_2+0=-1$

Подставим значение $C_1=2$:

$3\cdot2+C_2=-1$

$C_2=-1-6$

$C_2=-7$

Таким образом, частное решение:

$\boxed{Y=2e^{3x}-7xe^{3x}}$