Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции (на фото) и осью абсцисс от (на фото)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

нам задан эллипс с полуосями 1 и 2

$\displaystyle \frac{x^2}{2^2} +\frac{y^2}{1^2} =1$

тогда мы можем посчитать площадь фигуры двумя

1

теперь считаем площадь фигуры заданной параметрически

формула для вычисления

$\displaystyle S= \int\limits^\alpha _\beta {\bigg (y(t)*x'(t)\bigg )} \, dt$

здесь заметим, что параметрические уравнения «прорисовывают» дугу эллипса «в противоход» оси х , а площадь фигуры считается слева направо. поэтому  нижнему пределу интегрирования соответствует значение π/2, а верхнему пределу – значение π/3

тогда мы будем иметь

$\displaystyle \int\limits^{\pi/3}_{\pi/2} {sin(t)*(2cos(t))'} \, dt= \int\limits^{\pi/3}_{\pi/2} {-2sin^2(t)} \, dt=-\int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {-2sin^2(t)} \, dt=$

$\displaystyle = 2\int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {\bigg (\frac{1}{2} -\frac{1}{2} cos(2t)\bigg )} \, dt=t\bigg |_{\pi/3}^{\pi/2}-\int\limits^{\pi/2}_{\pi/3} {cos(2t)} \, dt =\frac{\pi}{6} -\left[\begin{array}{ccc}u=2t \quad du=2dt\\u_1=\displaystyle \frac{2\pi}{3} \quad u_2=\pi\\\end{array}\right] =$

$\displaystyle =\frac{\pi}{6} -\frac{1}{2} \int\limits^\pi_{\frac{2\pi}{3}} {cos(u)} \, du=\frac{\pi}{6} -\frac{sin(u)}{2} \bigg |_{2\pi/3}^\pi=\frac{\pi}{6} +\frac{\sqrt{3} }{4}$

2

считаем в декартовых координатах

это будет криволинейная трапеция, прилегающая к оси ОУ

формула

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {x(y)} \, dy$

найдем х(у)

$\displaystyle \frac{x^2}{2^2} +\frac{y^2}{1} =1\qquad \Rightarrow \quad x = \frac{\sqrt{4-y^2}}{2}$

тогда считаем площадь

$\displaystyle S= \int\limits^1_0 {\frac{\sqrt{4-y^2} }{2} } \, dy=\left[\begin{array}{ccc}y=2sin(u)\hfill\\dy=2cos(u)du\hfill\\u_1=0\quad u_2=\pi/6\end{array}\right] =\int\limits^{\pi/6}_0 {2cos^2(u)} \, du$

здесь заменяем

$\displaystyle cos^2(u) = \frac{1}{2} +\frac{1}{2} cos(2u)$

и дальше уже по накатанной схеме (как в первом случае)

в результате получим тот же ответ

$\displaystyle S= \int\limits^1_0 {\frac{\sqrt{4-y^2} }{2} } \, dy=\frac{\pi}{6} +\frac{\sqrt{3} }{4}$     (кто не верит может пересчитать -))  )

графики прилагаются

1 в полярных координатах

2 в декартовых координатах