Question

Найдите сумму неотрицательных целых решений неравенства: $\frac{log_{5}(3x^2 -11x+1)-1}{7-49^{x-1} } \geq 0$

Answer 1

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{\log_5(3x^2-11x+1)-1}{7-49^{x-1}}\ge0$, ОДЗ: $x\in\left(-\infty;\;\dfrac{11-\sqrt{109}}{6}\right)\cup\left(\dfrac{11+\sqrt{109}}{6};\;+\infty\right)$

Заметим, что исходному неравенству равносильно:

$\dfrac{3x^2-11x-4}{3-2x}\ge0,\;\;\dfrac{(3x+1)(x-4)}{2x-3}\le0$

По методу интервалов решением будет:

$x\in\left(-\infty;\;-\dfrac{1}{3}\right]\cup\left(\dfrac{3}{2};\;4\right]$

С учетом ОДЗ:

$x\in\left(-\infty;\;-\dfrac{1}{3}\right]\cup\left(\dfrac{11+\sqrt{109}}{6};\;4\right]$

Тогда сумма неотрицательных целых решений неравенства равна $4$.

Задание выполнено!