Question

Натуральное число n является произведением 2k простых чисел p1,p2,...,p2k в каких-то степенях. Может ли (n/p1)-(n/p2)+...-n/p2k=0?

Answer 1

Нет

Пошаговое объяснение:

Задачу можно переформулировать следующим образом:

Дан набор $p_1,p_2,...,p_{2k}$ различных простых чисел. Может ли выполняться равенство $\dfrac{1}{p_1}+\dfrac{1}{p_3}+...+\dfrac{1}{p_{2k-1}}=\dfrac{1}{p_2}+\dfrac{1}{p_4}+...+\dfrac{1}{p_{2k}}\;?\;\;\;\;\;\;(1)$

[Равенство (1) получается из приведенного в условии делением на ненулевое число n и переносом отрицательных слагаемых в правую часть]

Рассмотрим, например, левую часть:

$\dfrac{1}{p_1}+\dfrac{1}{p_3}+...+\dfrac{1}{p_{2k-1}}=\dfrac{p_3...p_{2k-1}}{p_1p_3...p_{2k-1}}+\dfrac{p_1p_5...p_{2k-1}}{p_1p_3p_5...p_{2k-1}}+...+\dfrac{p_1p_3...p_{2k-3}}{p_1p_3...p_{2k-3}p_{2k-1}}=\\ =\dfrac{\sum\limits_{i=1}^k \prod\limits_{j=1,j\neq i}^k p_{2j-1}}{p_1p_3...p_{2k-3}p_{2k-1}}$

И числитель, и знаменатель, очевидно, натуральные числа. Значит, левая часть представлена в виде обыкновенной дроби. Проверим, является ли она несократимой.

Пусть у числителя и знаменателя есть общий простой множитель, на который их можно сократить. Но тогда это одно из чисел $p_1,p_3,...,p_{2k-1}$ [т.к. знаменатель представлен в виде произведения этих простых].

Итак, рассмотрим некоторое из этих чисел $p_{2s-1}, s=\overline{1,k}$.

В сумме $\sum\limits_{i=1}^k \prod\limits_{j=1,j\neq i}^k p_{2j-1}$ все слагаемые, кроме $s$-ого, содержат в своем разложении на множители $p_{2s-1}$, а значит делятся на него. Остается слагаемое $\prod\limits_{j=1,j\neq s}^k p_{2j-1}=p_1p_3...p_{2(s-1)-1}p_{2(s+1)-1}...p_{2n-1}$ - но все сомножители в нем являются простыми числами, отличными от $p_{2s-1}$, а значит их произведение (т.е. само слагаемое) не делится на $p_{2s-1}$.

Тогда и сумма $\sum\limits_{i=1}^k \prod\limits_{j=1,j\neq i}^k p_{2j-1}$ не делится на $p_{2s-1}$.

Перебрав все значения $s$, получаем, что числитель и знаменатель не имеют общих простых множителей - а значит дробь несократима.

Аналогично получаем, что правая часть

$\dfrac{1}{p_2}+\dfrac{1}{p_4}+...+\dfrac{1}{p_{2k}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^k \prod\limits_{j=1,j\neq i}^k p_{2j}}{p_2p_4...p_{2k-2}p_{2k}}$ - несократимая дробь.

То есть получили равенство двух положительных несократимых дробей с положительными знаменателями $p_1p_3...p_{2k-1}$ и $p_2p_4...p_{2k}$ и положительными числителями.

Но такое возможно лишь если числители и знаменатели равны между собой.

С другой стороны, например, знаменатель левой части $p_1p_3...p_{2k-1}$ делится на $p_1$, а знаменатель правой $p_2p_4...p_{2k}$ нет, а значит совпадать они не могут. Противоречие.

Значит, указанное равенство невозможно.