Question

Делится ли (5!)! на 2 в степени: а.100
б.120
в.115
г.110
Обязательно с принципом решения. Желательно более быстрый метод, чем прямой подсчет количества двоек, которое вмещает в себя (5!)!

Answer 1

$(5!)!$ делится на $2^{100}$, $2^{115}$ и $2^{110}$

$(5!)!$ не делится на $2^{120}$

Пошаговое объяснение:

$(5!)!=120!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\vfot\dots\cdot119\cdot120\\$

Запишем количество чисел, которое кратно каждой степени двойки от 1 до 6 (7 и больше не подходит, так как $2^x120,~x\ge7$)

$2^1=2:~\dfrac{120}2=60\\\\2^2=4:~\dfrac{120}4=30\\\\2^3=8:~\dfrac{120}8=15\\\\2^4=16:~\left \lfloor{\dfrac{120}{16}}\right \rfloor=7\\\\2^5=32:~\left \lfloor{\dfrac{120}{32}}\right \rfloor=3\\\\2^6=64:~\left \lfloor{\dfrac{120}{64}}\right \rfloor=1$

Сложим все полученные цифры

$60+30+15+7+3+1=116$

Так как 2 простое число, и никакими другими (перемножением других чисел) получить мы ее не можем, значит в разложении $120!$ ровно $116$ двоек.

Значит $(5!)!$ нацело делится на $2^{100}$, $2^{115}$ и $2^{110}$