Question

Для функції f на вказаному проміжку I знайдіть первісну F, графік якої проходить через дану точку:

Answer 1

1.

1)

$F(x) = \int\limits(6 {x}^{2} + 4x - 3)dx = \frac{6 {x}^{3} }{3} + \frac{4 {x}^{2} }{2} - 3x + C = \\ =2 {x}^{3} + 2 {x}^{2} - 3x + C$

- общий вид

В точке А:

$- 3 = 2 \times ( - 8) + 2 \times 4 - 3 \times ( - 2) + C \\ C= - 3 + 16 - 8 - 6 = - 1$

$F(x) = 2 {x}^{3} - 2x {}^{2} - 3x - 1$

2)

$F(x) = \int\limits( {3}^{x} ln(3) - 5 {e}^{x} )dx = \frac{3 {}^{x} }{ ln(3) } \times ln(3) - 5e {}^{x} + C = \\ = {3}^{x} - 5 {e}^{x} + C$

- общий вид

В точке В:

$3 = {3}^{0} - 5 {e}^{0} + C \\ C = 3 - 1 + 5 = 7$

$F(x) = {3}^{x} - 5 {e}^{x} + 7$

3)

$F(x) = \int\limits( \frac{2}{x} + {x}^{ \frac{2}{5} } )dx = 2 ln( |x| ) + \frac{ {x}^{ \frac{7}{5} } }{ \frac{7}{5} } + C = \\ = 2 ln( |x| ) + \frac{5}{7} x \sqrt[5]{ {x}^{2} } + C$

- общий вид

В точке С:

$- 1 = 2 ln(0) + \frac{5}{7} \times ( - 1) + C \\ C = - 1 + \frac{5}{7} = - \frac{2}{7}$

$F(x) = 2 ln(x) + \frac{5}{7} x \sqrt[5]{ {x}^{2} } - \frac{2}{7} \\$

4)

$F(x) = \int\limits(3x - 1) {}^{3} dx = \frac{1}{3}\int\limits {(3x - 1)}^{3} d(3x - 1) = \\ = \frac{ {(3x - 1)}^{4} }{12} + C$

- общий вид

В точке D:

$21 = \frac{ {( - 3 - 1)}^{4} }{12} + C \\ C = 21 - \frac{16 \times 16}{12} = 21 - \frac{64}{3} = 0$

$F(x) = \frac{ {(3x - 1)}^{4} }{12} \\$