Question

Можно ли представить 1 в виде суммы 1000 дробей, числители которых равны 1, а знаменатели – нечетные числа?

Answer 1

Нет

Пошаговое объяснение:

Пусть $1=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{1000}}$

Приведём дроби к общему знаменателю: $\dfrac{a_2\cdot...\cdot a_{1000}+a_1\cdot a_3\cdot...\cdot a_{1000}+...+a_1\cdot... \cdot a_{999}}{a_1\cdot ...\cdot a_{1000}}$

Получается, что в знаменателе находится произведение нечётных чисел, то есть нечётное число, а в числителе — чётное (1000) число нечётных произведений. Сумма чётного количества нечётных чисел есть число чётное.

Дробь равна единице только тогда, когда числитель равен знаменателю, но чётное число (числитель) не может быть равно нечётному (знаменатель). Противоречие.