Question

Найдите значение параметра a, при которых уравнение 3*x + 4 * sqrt(1-x^2) = a имеет хотя бы один корень

Answer 1

[-5; 5]

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: $1-x^2\geq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$

Пусть $x=\sin{t}, -\dfrac{\pi}{2}\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$. Так как область значений синуса совпадает с областью значений (ОДЗ) x, потери корней не произойдёт. В силу ограничений на t на данном промежутке синус — монотонная функция.

$3\sin{t}+4\sqrt{1-\sin^2{t}}=a\\3\sin{t}+4\sqrt{\cos^2{t}}=a\\3\sin{t}+4|\cos{t}|=a$

При указанных значениях t косинус неотрицателен, поэтому модуль раскрывается с плюсом:

$3\sin{t}+4\cos{t}=a\\\dfrac{3}{5}\sin{t}+\dfrac{4}{5}\cos{t}=\dfrac{a}{5}$

Пусть $z=\arccos{\dfrac{3}{5}}=\arcsin{\dfrac{4}{5}}$. Тогда

$\sin{t}\cos{z}+\sin{z}\cos{t}=\dfrac{a}{5}\\\sin{(t+z)}=\dfrac{a}{5}$

Уравнение имеет хотя бы один корень, если правая часть лежит в промежутке от -1 до 1:

$-1\leq \dfrac{a}{5}\leq 1\\-5\leq a\leq 5$