Question

решить тригонометрические уравнения.

Answer 1

1)

${ \large{\pi }\small n , \: n \in \: \Z ; \: } \: \: \pm \tfrac{2 \pi}{3} +2 \large{\pi }\small k , \: \: k \in \: \Z \\$

2)

$\frac{\pi }{2}+ {\pi} {n }, \: n \in \: \Z ; \: \: \: (-1)^k \tfrac{\pi}{4} + \large{\pi }\small k , \: \: k \in \: \Z \\$

Пошаговое объяснение:

1)

$2 \sin(\pi + x) \cdot \sin( \frac{\pi}{2} + x) = \sin{x}$

Преобразуем:

$\sin(\pi + x) = - \sin{x} \\ \sin( \frac{\pi}{2} + x) = \cos{x}$

Отсюда:

$2 \sin(\pi + x) \cdot \sin( \frac{\pi}{2} + x) = \\ = 2 ( - \sin{x})( \cos{x}) = \\ = - 2 \sin{x} \cos{x} = - \sin{2x} \:$

$2 \sin(\pi + x) \cdot \sin( \frac{\pi}{2} + x) - \sin{x} = 0 \\ - 2 \sin{x} \cdot \cos{x} - \sin{x} = 0 \: \: \: \bigg | \times ( - 1) \\ 2 \sin{x} \cdot \cos{x} + \sin{x} = 0 \\ \sin{x} \cdot(2 \cos{x} + 1) = 0 \: = ...\\ .... = \sin{x} = 0 \: \: \cup \: \: 2 \cos{x} + 1 \\$

Мы получили 2 простых триг. уравнения:

1)

$1) \: \: \sin{x} = 0 \: \: \\$

$2) \: \small\: 2 \cos{x} {+ }1 { =} 0 \: { < }{ =}{ } \: 2 \cos{x} = - 1 \: \: { < }{ =}{ } \\ \: < = \: \: \: \cos{x} = - \frac{1}{2} \qquad \qquad \qquad \qquad$

Решим оба получившихся уравнения:

$1) \: \: \sin{x} = 0 \: \: \: {< }{ = } { } \: \: x = \large{\pi }\small n , \: \: n \in \: \Z\\ \\2) \: \: \cos{x} = - \frac{1}{2} \\$

$x = \pm \arccos( - \frac{1}{2} ) +2 \large{\pi }\small k , \: \: k\in \: \Z\\ x = \pm \frac{2 \pi}{3} +2 \large{\pi }\small k , \: \: k \in \: \Z\\$

ответ

${ \large{\pi }\small n , \: n \in \: \Z ; \: } \: \: \pm \tfrac{2 \pi}{3} +2 \large{\pi }\small k , \: \: k \in \: \Z \\$

2) - см. на приложенном фото

ответ

$\frac{\pi }{2}+ {\pi} {n }, \: n \in \: \Z ; \: \: \: (-1)^k \tfrac{\pi}{4} + \large{\pi }\small k , \: \: k \in \: \Z \\$

Answer 2

Решение задания прилагаю