Question

Решить уравнение. Найти сумму корней уравнения, деленную на (пи)

Answer 1

$\dfrac{5^{1 +\sin^{2} x} - 5^{\cos^{2}x} - 24}{\sqrt{1 - (x^{2} + 3x + 3)}} =0$

1. Уравнение вида $\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$ равносильно системе $\displaystyle \left \{ {{f(x) = 0, \ \,} \atop g(x) \neq 0 \colon}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{5^{1 +\sin^{2} x} - 5^{\cos^{2}x} - 24 = 0, } \atop {\sqrt{1 - (x^{2} + 3x + 3)} \neq 0. \ \ \ \, } \right.$

2. Решим уравнение $5^{1 +\sin^{2} x} - 5^{\cos^{2}x} - 24 = 0.$

2.1. Поскольку $\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x,$ то

$5^{2 - \cos^{2} x} - 5^{\cos^{2}x} - 24 = 0.$

2.2. Используя свойство степеней $a^{x-y} = \dfrac{a^{x}}{a^{y}},$ имеем:

$\dfrac{5^{2}}{5^{\cos^{2} x}} - 5^{\cos^{2}x} - 24 = 0.$

2.3. Сделаем замену: $5^{\cos^{2}x} = t.$ Тогда:

$\dfrac{25}{t} - t - 24 = 0.$

2.4. Преобразуем уравнение:

$t^{2} + 24t - 25 = 0, ~~~ t \neq 0.$

2.5. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

$t_{1} = -25, ~ t_{2} = 1.$

2.6. Делаем обратную замену:

$\displaystyle \left [ {{5^{\cos^{2}x} = -25,} \atop {5^{\cos^{2}x} = 1. ~~~~}} \right.$

2.7. Первое уравнение не имеет корней, поскольку правая часть не может быть отрицательной. Решим уравнение $5^{\cos^{2}x} = 1 \colon$

$5^{\cos^{2}x} = 5^{0};$

$\cos^{2}x = 0;$

$\cos x = 0;$

$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z.$

3. Определим ограничения: $\sqrt{1 - (x^{2} + 3x + 3)} \neq 0.$

3.1. Ограничение для данного уравнения соответствует неравенству:

$1 - (x^{2} + 3x + 3) 0.$

3.2. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

$-x^{2} - 3x -2 0.$

3.3. Умножим обе части неравенства на $(-1)\colon$

$x^{2} + 3x + 2 < 0.$

3.4. Решением данного неравенства является промежуток $(-2; ~ {-}1).$

4. Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку $(-2; ~ {-}1).$

Пусть $n = 0,$ тогда $x = \dfrac{\pi}{2} \notin (-2; ~ {-}1)$

Пусть $n = -1,$ тогда $x = \dfrac{\pi}{2} - \pi = -\dfrac{\pi}{2} \in (-2; ~ {-1}).$

Пусть $n = -2,$ тогда $x = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2} \notin (-2; ~ {-1}).$

5. Решением данного уравнения является $x = -\dfrac{\pi}{2}.$

6. В ответ следует записать сумму корней (или корень, если он единственный), деленную на $\pi.$

ответ: $-0,5.$