Question

При каких значениях параметра а уравнение a*3^(2x+1)-(6a-4)*3^x+3(a-1)=0 имеет единственный корень?

Answer 1

$a\cdot 3^{2x+1}-(6a-4)\cdot 3^{x}+3(a-1)=0$

$3a\cdot 3^{2x}-(6a-4)\cdot 3^x+3(a-1)=0$

Рассмотрим два случая

1) Если $a=0$, то $4\cdot 3^x-3=0$ откуда $x=\log_3\frac{3}{4}$.

2) Если $a\ne 0$, то данное уравнение равносильно следующему уравнению $3at^2-(6a-4)t+3(a-1)=0$, где $3^x=t$, причём $t0$

$D=(6a-4)^2-4\cdot 3a\cdot3(a-1)=36a^2-48a+16-36a^2+36a=16-12a$

при $16-12a\geq0$ откуда $a\leq\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$ квадратное уравнение имеет корни.

Чтобы данное уравнение имело единственный корень, нужно чтобы корни квадратного уравнения относительно $t$ были разных знаков. По теореме Виета:

$t_1t_2=\frac{3(a-1)}{3a}=\frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}$ ⇒  $-\frac{1}{a}$ откуда $0$

С учётом того, что при $a=0$ уравнение имеет единственный корень, то включая значение a = 0 в неравенстве 0 < a < 1, получаем 0 ≤ a < 1.

ответ: при a ∈ [0;1).