Question

Определить наибольшее значение a, для которого неравенство 9x2−x+1/36≥y−9y2−axy выполняется для любых пар чисел (x,y) таких, что |x|=|y|.

Answer 1

18

Пошаговое объяснение:

Неравенство:

9x^2 - x + 1/36 ≥ -9y^2 + y - axy

Условие: |x| = |y|, то есть или y = -x, или y = x.

Умножим все на 36 (избавимся от дробей) и перенесем все налево:

324x^2 - 36x + 1 + 324y^2 - 36y + 36axy ≥ 0

324(x^2 + y^2) - 36(x + y) + 36axy + 1 ≥ 0

1) Применим первое из условий: y = -x.

Тогда x^2 + y^2 = 2x^2; x + y = 0; 36axy = -36ax^2:

324*2x^2 - 0 - 36ax^2 + 1 ≥ 0

(648 - 36a)*x^2 + 1 ≥ 0

Чтобы это было верно при любом х, это должна быть сумма двух неотрицательных чисел. Значит:

648 - 36a ≥ 0

36a ≤ 648

a ≤ 18

2) Применим второе из условий: y = x.

Тогда x^2 + y^2 = 2x^2; x + y = 2x; 36axy = 36ax^2:

324*2x^2 - 36*2x + 36ax^2 + 1 ≥ 0

(648 + 36a)x^2 - 72x + 1 ≥ 0

Чтобы это было верно при любом х, выражение слева не должно иметь корней.

D = (-72)^2 - 4*1(648 + 36a) ≤ 0

5184 - 2592 - 144a ≤ 0

2592 - 144a ≤ 0

144a ≥ 2592

a ≥ 18

При a ≤ 18 есть решение, что подходят любые х и у, если y = -x.

А при а ≥ 18 есть решение, что подходят любые x и y, если y = x.

Таким образом, решение есть при любом а.

Но возможно, что по мнению авторов задачи, правильный ответ: 18.