Question

решить) a,b>0 натуральные числа
Доказать равенство:

$log_{a} ab=1+\frac{2}{log_{b} a^{2} }$

Answer 1

$\displaystyle log_{a}(ab)= 1+\frac{2}{log_{b}(a^{2}) }$

Рассмотрим правую часть

$\displaystyle 1+\frac{2}{log_{b}(a^{2}) }=1+\frac{2}{2log_{b}(a) }=1+\frac{1}{log_{b}(a) }=1+log_{a}(b)=log_{a}(a)+log_{a}(b)=log_{a}(a*b)$

Для доказательства использовались следующие свойства:

$\displaystyle log_{b}(a^{n})=n*log_{b}(a)$

$\displaystyle log_{b}(a)=\frac{1}{log_{a}(b)}$

$\displaystyle log_{a}(a)=1$

$\displaystyle log_{a}(b)+log_{a}(c)=log_{a}(bc)$