Question

Вася загадал два целых числа nn и mm и предложил Пете их отгадать. Петя попросил Васю в качестве подсказки назвать значение выражения mn+11n+11m-n^2-m^2 . Когда Вася назвал значение этого выражения, Петя смог однозначно восстановить чему равно nn и чему равно m . Какое число назвал Вася в качестве подсказки?

Answer 1

$121$

Пошаговое объяснение:

$f(m,n)=mn+11n+11m-n^2-m^2=-\dfrac{1}{2}(-2mn-2\cdot 11n-2\cdot 11m+2n^2+2m^2)=\\ =-\dfrac{1}{2}((m^2-2mn+n^2)+(n^2-2\cdot 11n+11^2)+(m^2-2\cdot 11m+11^2))+11^2=\\ =-\dfrac{1}{2}\underbrace{((m-n)^2+(n-11)^2+(m-11)^2)}_{\geq 0}+121$

То есть  $f(m,n)\leq 121$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $(m-n)^2+(n-11)^2+(m-11)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}m-n=0\\n-11=0\\m-11=0\end{array}\right.\Leftrightarrow m=n=11$.

Значит, Вася мог назвать число $121$, благодаря чему Петя однозначно восстановил $m=n=11$.

Покажем, что других чисел Вася назвать не мог.

Заметим:

$f(22-m,22-n)=-\dfrac{1}{2}((22-m-(22-n))^2+(22-n-11)^2+(22-m-11)^2)+121=\\ =-\dfrac{1}{2}((-m+n)^2+(11-n)^2+(11-m)^2)+121=-\dfrac{1}{2}((m-n)^2+(n-11)^2+\\ +(m-11)^2)+121=f(m,n)$

Но тогда, если по значению функции однозначно можно определить аргументы, должно выполняться условие $\left\{\begin{array}{c}22-m=m\\22-n=n\end{array}\right.\Leftrightarrow m=n=11$ - то есть подходит лишь уже рассмотренный случай.