Question

Сколько натуральных чисел меньше или равных 5000 можно записать в виде $m^2+n^8$ , где m и n — натуральные числа?

Answer 1

135

Пошаговое объяснение:

Заметим, что при n=3

$n^8=3^8=65615000$

Значит, n=1 или n=2.

1. Пусть n=1, тогда

$m^2+1^8\leq 5000 \\ m^2\leq 4999 \\ m\leq \sqrt{4999} \\ m\leq 70,... \\ m =\overline{1,70}$

Всего можно составить 70 таких чисел.

2. Пусть n=2, тогда

$m^2+2^8\leq 5000 \\ m^2\leq 4744 \\ m\leq \sqrt{4744} \\ m\leq 68,... \\ m=\overline{1,68}$

Всего можно составить 68 таких чисел

Осталось выяснить, есть ли числа, которые повторяются в пунктах 1. и 2.

То есть не должно допускаться равенство

$x^2+1^8=y^2+2^8, \ \ x=\overline{1,70}; \ y=\overline{1,68}$, где

в записи m²+n⁸, фиксированному значению n=1 соответствует некоторое натуральное m=x, а n=2 соответствует m=y

$x^2+1=y^2+256\\ x^2-y^2=255 \\ (x-y)(x+y)=1*3*5*17 \\ \\ 1) \left\{\begin{matrix} x-y=1\\ x+y=255 \end{matrix}\right. \ \ 2) \left\{\begin{matrix} x-y=255\\ x+y=1 \end{matrix}\right. \ \ 3) \left\{\begin{matrix} x-y=3\\ x+y=85 \end{matrix}\right. \ \ 4) \left\{\begin{matrix} x-y=85\\ x+y=3 \end{matrix}\right.$

$5) \left\{\begin{matrix} x-y=5\\ x+y=51 \end{matrix}\right. \ \ 6) \left\{\begin{matrix} x-y=51\\ x+y=5 \end{matrix}\right. \ \ 7) \left\{\begin{matrix} x-y=17\\ x+y=15 \end{matrix}\right. \ \ 8) \left\{\begin{matrix} x-y=15\\ x+y=17 \end{matrix}\right.$

Так как x и y - положительные, то x+y>x-y, значит системы 2), 4), 6) и 7) нам не подходят.

А если $x=\overline{1,70}; \ y=\overline{1,68}$, то x+y≤70+68 ⇒ x+y≤138

Таким образом система 1) нам тоже не подходит.

Остается проверить 3), 5) и 8)

$3) \ \pm \left\{\begin{matrix} x-y=3 \\ x+y=85\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=44 \\ -2y=-82\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=44 \\ y=41\end{matrix}\right.$

$5) \ \pm \left\{\begin{matrix} x-y=5 \\ x+y=51\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=56 \\ -2y=-46\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=28 \\ y=23\end{matrix}\right.$

$8) \ \pm \left\{\begin{matrix} x-y=15 \\ x+y=17\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x=32 \\ -2y=-2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=16 \\ y=1\end{matrix}\right.$

Таким образом, в пунктах 1. и 2. повторяются 3 числа (это числа 257, 785, 1937)

Тогда всего нужных нам чисел: 70+68-3=135