Question

Напишите каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ox, если даны a = 6 и b = 2

Answer 1

$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

Пошаговое объяснение:

каноническое уравнение гиперболы:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Answer 2

Добрый день! Для начала, давайте разберемся, что значит, что фокусы гиперболы лежат на оси ox. Это означает, что фокусы g1 и g2 будут находиться в одной точке на оси ox, например, в точке F(x, 0).

Известно, что уравнение гиперболы в канонической форме представляется следующим образом:

(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1

где (h, k) - центр гиперболы, a - половина расстояния между вершинами по главной оси (длина большей оси), b - половина расстояния между вершинами по побочной оси (длина меньшей оси).

Для данной задачи нам известны значения a = 6 и b = 2. Также мы знаем, что фокусы лежат на оси ox, то есть координата y фокусов равна 0.

Используя данный формулу, подставим известные значения:

(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1

(x-h)^2 / 6^2 - (0-k)^2 / 2^2 = 1

(x-h)^2 / 36 - (0-k)^2 / 4 = 1

Теперь обратимся к графику, который дан в задаче. Как видно на рисунке, координата х фокусов равна -3 и 3.

Подставим эти значения в уравнение:

(-3-h)^2 / 36 - (0-k)^2 / 4 = 1
(3-h)^2 / 36 - (0-k)^2 / 4 = 1

Мы получили два уравнения, так как у нас есть два фокуса.

Теперь нам нужно найти значения h и k, чтобы окончательно составить уравнение гиперболы. Для этого обращаемся к основной формуле:

c^2 = a^2 + b^2

где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса.

В нашем случае мы знаем, что a = 6 и b = 2. Подставляем эти значения в формулу:

c^2 = 6^2 + 2^2
c^2 = 36 + 4
c^2 = 40

Извлекаем корень из обеих сторон:

c = √40 = 2√10

Теперь, зная значения c и h, мы можем составить уравнение:

(-3-h)^2 / 36 - (0-k)^2 / 4 = 1

(h+3)^2 / 36 - k^2 / 4 = 1

Подставим полученные значения c и h:

(2√10+3)^2 / 36 - k^2 / 4 = 1

(2√10-3)^2 / 36 - k^2 / 4 = 1

Таким образом, каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси ox, при a = 6 и b = 2, будет выглядеть следующим образом:

((x-(2√10+3))^2 / 36 - k^2 / 4 = 1

((x-(2√10-3))^2 / 36 - k^2 / 4 = 1

Надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!