Для начала, давайте выразим обе последовательности явно.
Последовательность xn = n / (n + 1)
Последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2)
Для того чтобы доказать, что эти последовательности возрастающие, мы должны проверить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. То есть, нам нужно проверить неравенства xn < xn+1 и yn < yn+1.
Начнем с последовательности xn = n / (n + 1).
Для доказательства возрастания этой последовательности, мы должны проверить, что xn < xn+1.
xn < xn+1
n / (n + 1) < (n + 1) / (n + 2) (заменили n+1 на его значение в следующем члене последовательности)
n(n + 2) < (n + 1)^2 (умножили обе части неравенства на (n + 1)(n + 2) для устранения дроби)
n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 (развернули правую часть)
0 < 1 (сократили одинаковые члены)
Данное неравенство всегда верно, так как любое число больше нуля. Поэтому мы доказали, что последовательность xn возрастающая.
Теперь рассмотрим последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2).
Для доказательства возрастания этой последовательности, мы должны проверить, что yn < yn+1.
yn < yn+1
n^2 / (n^2 + 2) < (n + 1)^2 / ((n + 1)^2 + 2) (заменили n^2 на его значение в следующем члене последовательности)
n^2 ((n + 1)^2 + 2) < (n + 1)^2 (n^2 + 2) (умножили обе части неравенства на (n^2 + 2)((n + 1)^2 + 2) для устранения дроби)
n^4 + 4n^3 + 4n^2 + 2n^2 + 4n + 4 < n^4 + 2n^2 + 4 (развернули правую часть)
4n^3 + 6n^2 + 4n < 0 (сократили одинаковые члены и уничтожили некоторые нули)
n(n + 1)(2n + 2) < 0 (сократили)
Данное неравенство не справедливо для всех значений n. Например, при n=1 получаем 6 < 0, что не верно. Таким образом, мы не доказали, что последовательность yn возрастающая.
Итак, мы доказали, что первая последовательность xn = n / (n + 1) возрастающая, а вторая последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2) не возрастающая.
Последовательность xn = n / (n + 1)
Последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2)
Для того чтобы доказать, что эти последовательности возрастающие, мы должны проверить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. То есть, нам нужно проверить неравенства xn < xn+1 и yn < yn+1.
Начнем с последовательности xn = n / (n + 1).
Для доказательства возрастания этой последовательности, мы должны проверить, что xn < xn+1.
xn < xn+1
n / (n + 1) < (n + 1) / (n + 2) (заменили n+1 на его значение в следующем члене последовательности)
n(n + 2) < (n + 1)^2 (умножили обе части неравенства на (n + 1)(n + 2) для устранения дроби)
n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 (развернули правую часть)
0 < 1 (сократили одинаковые члены)
Данное неравенство всегда верно, так как любое число больше нуля. Поэтому мы доказали, что последовательность xn возрастающая.
Теперь рассмотрим последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2).
Для доказательства возрастания этой последовательности, мы должны проверить, что yn < yn+1.
yn < yn+1
n^2 / (n^2 + 2) < (n + 1)^2 / ((n + 1)^2 + 2) (заменили n^2 на его значение в следующем члене последовательности)
n^2 ((n + 1)^2 + 2) < (n + 1)^2 (n^2 + 2) (умножили обе части неравенства на (n^2 + 2)((n + 1)^2 + 2) для устранения дроби)
n^4 + 4n^3 + 4n^2 + 2n^2 + 4n + 4 < n^4 + 2n^2 + 4 (развернули правую часть)
4n^3 + 6n^2 + 4n < 0 (сократили одинаковые члены и уничтожили некоторые нули)
n(n + 1)(2n + 2) < 0 (сократили)
Данное неравенство не справедливо для всех значений n. Например, при n=1 получаем 6 < 0, что не верно. Таким образом, мы не доказали, что последовательность yn возрастающая.
Итак, мы доказали, что первая последовательность xn = n / (n + 1) возрастающая, а вторая последовательность yn = n^2 / (n^2 + 2) не возрастающая.