Даны вершины пирамиды: А (-4; -2; -3), B (2; 5; 7), C (6; 3; -1), D(6; -4; 1).
Знайти:
1. площу грані АСD;
Находим векторы: AC = (6-(-4); 3-(-2); -1-(-3)) = (10; 5; 2).
AD = (6-(-4); -4-(-2); 1-(-3)) = (10; -2; 4).
Площадь треугольника ACD равна половине модуля векторного произведения векторов AC и AD.
i j k| i j
10 5 2| 10 5
10 -2 4| 10 -2 = 20i + 20j - 20k - 40j + 4i - 50k =
= 24i - 20j - 70k = (24; -20; -70).
Модуль равен √(24² + (-20)² + (-70)²) = √(576 + 400 + 4900) = √5876.
Площадь ACD = (1/2)√5876 = √1469 ≈ 38,32754.
2. площу перерізу, що проходить через вершини А, D та середину ребра BC;
Находим координаты точки Е как середины ВС.
Е = (B (2; 5; 7) + C (6; 3; -1))/2 = (4; 4; 3). Вектор АЕ = (8; 6; 6).
Находим векторное произведение векторов AD и AE.
i j k| i j
10 -2 4| 10 -2
8 6 6| 8 6 = -12i + 32j + 60k - 60j - 24i + 16k =
= -36i - 28j + 76k = (-36; -28; 76).
Модуль равен √((-36)² + (-28)² + 76²) = √(1296 + 784 + 5776) = √7856.
Площадь ADE = (1/2)√7856 ≈ 44,31704.
3. об’єм піраміди.
V = (1/6)*[ACxAD]*AB.
Вектор АВ = (6; 7; 10).
V = (1/6)*(24*6-20*7-70*10) = (1/6)696 = 116 куб.ед.
Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х - 3) км/ч - скорость катера против течения реки, (х + 3) км/ч - скорость катера по течению реки. 7 - 2 = 5 ч - время движения. Уравнение:
36/(х-3) + 36/(х+3) = 5
36 · (х + 3) + 36 · (х - 3) = 5 · (х + 3) · (х - 3)
36х + 108 + 36х - 108 = 5 · (х² - 3²)
72х = 5х² - 45
5х² - 72х - 45 = 0
D = b² - 4ac = (-72)² - 4 · 5 · (-45) = 5184 + 900 = 6084
√D = √6084 = 78
х₁ = (72-78)/(2·5) = -6/10 (не подходит, так как < 0)
х₂ = (72+78)/(2·5) = 150/10 = 15
ответ: 15 км/ч - собственная скорость катера.
Проверка:
36 : (15 - 3) = 36 : 12 = 3 ч - время движения против течения
36 : (15 + 3) = 36 : 18 = 2 ч - время движения по течению
3 ч + 2 ч + 2 ч (остановка) = 7 ч - общее время на путь туда и обратно
(x-5)^2-25=(x-(5-25))(x+(5-25))=(x-5-25)(x-5+25)=(x-5-20)(x-5+20)=x(x-10)
Пошаговое объяснение: