Question

Математика ( 1 курс решить

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) i ^ 13 = (i^2)^6 * i = (-1)^6 * i = i

i^100 = (i^2)^50 = (-1)^50 = 1

i^1993 = (i^100)^19 * i^93 = 1 * (i^2)^46 * i = i

2) (1 + i)^10

Воспользуемся формулой Муавра

z^n = r^n(cos φn + i*sin φn)

r - модуль, φ - аргумент комплексного числа

В нашем случае r = √2, φ = $\pi$/4

(1 + i)^10 = (√2)^10 * (cos 10$\pi$/4 + i*sin 10$\pi$/4) = 32*(cos 5$\pi$/2 + i*sin 5$\pi$/2)=

= 32*(0+i*1) = 32i

Другой вариант решения:

(1 + i)^10  = ( (1 + i)^2 )^5 = (1 - 2i + i^2)^5 = (1 + 2i - 1)^5 = (2i)^5 = 32i * i^4 = 32i

3) a = -1/2 + √3/2 * i

z^n = r^n(cos φn + i*sin φn)

Посчитаем модуль комплексного числа a:

r =√( (-1/2)^2 + (√3/2)^2)  = 1

Аргумент φ = 2$\pi$/3

a^4 = 1^4 * (cos 8$\pi$/3 + i*sin 8$\pi$/3) = -1/2 + i*√3/2 = a

a^11 = 1^11 * (cos 22$\pi$/3 + i*sin 22$\pi$/3) = -1/2 - i*√3/2

a^1992 = (a^4)^498 = a^498 =

= 1^498 * (cos 498*2$\pi$/3 + i*sin 498*2$\pi$/3) = cos 332$\pi$ + i*sin 332$\pi$ =

= 1

4) ( (1 + i)/(1 - i) )^1998 = ( (1 + i)^2 / 1^2 - i^2 )^1998 = ((1 + i)^2 / 2)^1998 =

= ((1^2 + 2i + i^2)/2)^1998 = ((1 +2i - 1)/2)^1998 = i^1998 = (i^2)^999 =

= (-1)^999 = -1