Question

2. В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более, чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более, чем на 1 г.

Answer 1

Сначала выложим груши по возрастанию масс и докажем, что по-прежнему массы любых двух соседних груш отличаются не больше чем на 1 г. Пусть это не так: есть груша веса a, а следующий вес больше a + 1. Покрасим груши с весом не больше a в зелёный цвет, а груши с весом, большим

a + 1, – в жёлтый. В исходной расстановке где-то груши разного цвета лежат рядом, значит, разность их весов не больше 1. Противоречие.

В первый пакет положим первую грушу с последней, во второй – вторую с предпоследней и т. д. На каждом шаге добавляются два изменения весов разных знаков, что в сумме делает разность соседних пакетов по модулю не больше максимума разностей соответствующих пар соседних груш, то есть не более 1 г.