Question

Пользуясь правилом лопиталя вычислить.limx стремится к 0= x^1/1-x

Answer 1

$f(x)=x^{\frac{1}{1-x}}$
$x^{\frac{1}{1-x}}=e^{ln(x^{\frac{1}{1-x}})}=e^{\frac{ln(x)}{1-x}}:x0$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{lnx}{1-x}= \lim_{x \to 0^+} (\frac{lnx}{1-x})'= \lim_{x \to 0^+} -\frac{1}{x}=-\infty$
⇒$\lim_{x \to 0^+} \frac{lnx}{1-x}=-\infty$⇒$\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{lnx}{1-x}}=0$⇒$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{lnx}{1-x}}=0$

Стоит заметить, что правило Лопиталя в данном случае можно применить только потому, что обе функции непрерывны на области, дифференциируемы, и предел 1-x не равен нулю...