Перед тем, как начать решать задачу, важно знать, что символ |x| обозначает модуль числа х. Модуль числа - это всегда положительное число, равное расстоянию от этой точки на числовой прямой до нуля.
Итак, у нас есть выражение |1+4i-z| при условии, что |z-10i+2| ≤ 1.
Давайте разберем его пошагово:
1. Начнем с решения неравенства |z-10i+2| ≤ 1.
В данном случае, мы имеем модуль разности между числом z и комплексным числом 10i+2. Давайте разберем это шаг за шагом.
2. Разложим выражение z-10i+2 на его составные части. Таким образом, наше выражение может быть представлено в виде (x+yi)-(10i+2), где x и y - действительные числа.
Раскроем скобки: x+yi-10i-2.
Параметризуем данное выражение следующим образом: x-2 + (y-10)i.
3. Так как у нас есть модуль, то нам нужно найти расстояние от точки (x-2, y-10) до нуля на комплексной плоскости. Это можно сделать, используя формулу вычисления модуля комплексного числа: |a+bi| = √(a^2 + b^2).
Применим эту формулу к нашему выражению: |x-2 + (y-10)i| = √((x-2)^2 + (y-10)^2).
Таким образом, неравенство |z-10i+2| ≤ 1 можно переписать как √((x-2)^2 + (y-10)^2) ≤ 1.
4. Мы можем упростить это неравенство, заметив, что выражение √((x-2)^2 + (y-10)^2) ≤ 1 просто означает, что расстояние от точки (x-2, y-10) до нуля должно быть меньше или равно 1.
Такое расстояние будет соответствовать кругу с радиусом 1 и центром в точке (2, 10).
5. Теперь рассмотрим выражение |1+4i-z|. Здесь нам нужно найти расстояние от точки z до точки (1, -4) на комплексной плоскости.
Применим формулу вычисления модуля комплексного числа: |a+bi| = √(a^2 + b^2).
Таким образом, нам нужно найти расстояние от точки з до точки (1, -4), что можно записать как |z-(1-4i)|.
6. Теперь мы можем заметить, что неравенство |1+4i-z|, при условии, что |z-10i+2| ≤ 1, может быть заменено на неравенство |z-(1-4i)| ≤ 1.
7. В результате мы находимся в следующей ситуации: нам нужно найти максимальное значение модуля |z-(1-4i)|, при условии, что |z-10i+2| ≤ 1.
8. Используя геометрическое рассуждение, находим, что максимальное значение модуля |z-(1-4i)| будет равно расстоянию между центром круга (2, 10) и точкой (1, -4), плюс 1, так как это радиус круга.
Для того чтобы найти это расстояние, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости: √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Таким образом, мы получаем: √((1-2)^2 + (-4-10)^2) + 1 = √((-1)^2 + (-14)^2) + 1 = √(1 + 196) + 1 = √197 + 1.
Таким образом, максимальное значение модуля выражения |1+4i-z| при условии |z-10i+2| ≤ 1 равно √197 + 1.
Перед тем, как начать решать задачу, важно знать, что символ |x| обозначает модуль числа х. Модуль числа - это всегда положительное число, равное расстоянию от этой точки на числовой прямой до нуля.
Итак, у нас есть выражение |1+4i-z| при условии, что |z-10i+2| ≤ 1.
Давайте разберем его пошагово:
1. Начнем с решения неравенства |z-10i+2| ≤ 1.
В данном случае, мы имеем модуль разности между числом z и комплексным числом 10i+2. Давайте разберем это шаг за шагом.
2. Разложим выражение z-10i+2 на его составные части. Таким образом, наше выражение может быть представлено в виде (x+yi)-(10i+2), где x и y - действительные числа.
Раскроем скобки: x+yi-10i-2.
Параметризуем данное выражение следующим образом: x-2 + (y-10)i.
3. Так как у нас есть модуль, то нам нужно найти расстояние от точки (x-2, y-10) до нуля на комплексной плоскости. Это можно сделать, используя формулу вычисления модуля комплексного числа: |a+bi| = √(a^2 + b^2).
Применим эту формулу к нашему выражению: |x-2 + (y-10)i| = √((x-2)^2 + (y-10)^2).
Таким образом, неравенство |z-10i+2| ≤ 1 можно переписать как √((x-2)^2 + (y-10)^2) ≤ 1.
4. Мы можем упростить это неравенство, заметив, что выражение √((x-2)^2 + (y-10)^2) ≤ 1 просто означает, что расстояние от точки (x-2, y-10) до нуля должно быть меньше или равно 1.
Такое расстояние будет соответствовать кругу с радиусом 1 и центром в точке (2, 10).
5. Теперь рассмотрим выражение |1+4i-z|. Здесь нам нужно найти расстояние от точки z до точки (1, -4) на комплексной плоскости.
Применим формулу вычисления модуля комплексного числа: |a+bi| = √(a^2 + b^2).
Таким образом, нам нужно найти расстояние от точки з до точки (1, -4), что можно записать как |z-(1-4i)|.
6. Теперь мы можем заметить, что неравенство |1+4i-z|, при условии, что |z-10i+2| ≤ 1, может быть заменено на неравенство |z-(1-4i)| ≤ 1.
7. В результате мы находимся в следующей ситуации: нам нужно найти максимальное значение модуля |z-(1-4i)|, при условии, что |z-10i+2| ≤ 1.
8. Используя геометрическое рассуждение, находим, что максимальное значение модуля |z-(1-4i)| будет равно расстоянию между центром круга (2, 10) и точкой (1, -4), плюс 1, так как это радиус круга.
Для того чтобы найти это расстояние, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости: √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).
Таким образом, мы получаем: √((1-2)^2 + (-4-10)^2) + 1 = √((-1)^2 + (-14)^2) + 1 = √(1 + 196) + 1 = √197 + 1.
Таким образом, максимальное значение модуля выражения |1+4i-z| при условии |z-10i+2| ≤ 1 равно √197 + 1.