Question

В квадрате 5х5 покрасили в чёрный цвет некоторые клетки так, как показано на рисунке. Рассмотрим всевозможные квадраты, стороны которых идут по линиям сетки. В скольких из них одинаковое количество чёрных и белых клеток? распишите решение

Answer 1

Для того чтобы найти сколько всевозможных квадратов в квадрате 5х5, нужно рассмотреть все возможные размеры сторон квадратов и посчитать сколько таких квадратов есть.

Сначала рассмотрим квадраты со стороной длиной 1. Всего таких квадратов будет 25, так как в квадрате 5х5 всего 25 клеток.

Затем рассмотрим квадраты со стороной длиной 2. Всего таких квадратов будет 16, так как мы можем выбрать любую из 16 позиций внутри квадрата 5х5, чтобы разместить квадрат со стороной 2.

Аналогично, для квадратов со стороной 3, будет 9 вариантов.

Продолжим таким образом для всех возможных размеров сторон квадратов до 5.

Затем посчитаем, сколько чёрных и белых клеток есть в каждом из найденных квадратов.

- Для квадратов со стороной 1, в каждом квадрате будет 0 или 1 чёрная клетка. Всего найдено 25 квадратов.

- Для квадратов со стороной 2, мы можем выделить несколько категорий:
- Квадраты, содержащие только чёрные клетки (4 варианта).
- Квадраты, содержащие только белые клетки (4 варианта).
- Квадраты, содержащие две чёрные и две белые клетки (4 варианта).
Всего найдено 12 квадратов.

- Для квадратов со стороной 3:
- Квадраты, содержащие только чёрные клетки (1 вариант).
- Квадраты, содержащие только белые клетки (1 вариант).
- Квадраты, содержащие одну чёрную и две белые клетки (3 варианта).
- Квадраты, содержащие две чёрные и одну белую клетки (3 варианта).
Всего найдено 8 квадратов.

- Для квадратов со стороной 4:
- Квадраты, содержащие только чёрные клетки (0 вариантов).
- Квадраты, содержащие только белые клетки (0 вариантов).
- Квадраты, содержащие одну чёрную и три белые клетки (2 варианта).
- Квадраты, содержащие три чёрные и одну белую клетки (2 варианта).
Всего найдено 4 квадрата.

- Для квадратов со стороной 5, есть только один вариант - квадрат, содержащий все черные клетки (1 вариант).

Теперь посчитаем общее количество квадратов, которые содержат одинаковое количество черных и белых клеток:
25 + 12 + 8 + 4 + 1 = 50

Итак, в квадрате 5х5 есть 50 квадратов, в которых количество черных и белых клеток одинаково.