Question

1 задание: По двум независимым малым выборкам объемов n_1=5 и n_2=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X_1 и X, найдены выборочные средние ¯(x_1 )=8,3 и ¯(x_2 )=7,48 и выборочные дисперсии (S_(x_1)^2 ) ̂=0,251 и (S_(x_2)^2 ) ̂=0,108. При уровне значимости α≤0,05 проверить нулевую гипотезу H_0: M(X_1 )=M(X_2 ).

2 задание: В эксперименте исследовалось влияние пищевой добавки на массу тела крыс. По результатам наблюдения спустя 1 месяц были получены следующие величины массы животных контрольной и экспериментальной групп:

К.гр. 305 312 320 324 330 360 380 390 400
Э.гр. 361 384 421 430 440 480 492 500

Дайте оценку достоверности прибавки веса при уровне значимости 0,01 с критерия Манна-Уитни.

Answer 1

1 задание:
Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей можно воспользоваться двувыборочным критерием для независимых выборок. В данном случае у нас есть две малые выборки объемом n_1=5 и n_2=6, выборочные средние равны ¯(x_1 )=8,3 и ¯(x_2 )=7,48, а выборочные дисперсии равны (S_(x_1)^2 ) ̂=0,251 и (S_(x_2)^2 ) ̂=0,108.

Шаг 1: Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
H_0: M(X_1 )=M(X_2 ) (математические ожидания двух генеральных совокупностей равны)
H_1: M(X_1 )≠M(X_2 ) (математические ожидания двух генеральных совокупностей не равны)

Шаг 2: Установим уровень значимости α≤0,05.

Шаг 3: Вычислим статистику критерия T:
T = (¯(x_1 ) - ¯(x_2 )) / sqrt((S_(x_1)^2 / n_1) + (S_(x_2)^2 / n_2))

Подставим значения:
T = (8,3 - 7,48) / sqrt((0,251 / 5) + (0,108 / 6))
T ≈ 1,383

Шаг 4: Найдем критическую область. У нас двусторонняя альтернативная гипотеза, поэтому критическая область будет состоять из двух хвостов по α/2 каждый.

Найдем критическое значение t:
t_krit = t(alpha/2, n_1 + n_2 - 2)

Находим t_krit для α/2 = 0,05/2 = 0,025 и степеней свободы df = n_1 + n_2 - 2 = 5 + 6 - 2 = 9:
t_krit ≈ 2,262

Шаг 5: Сравниваем значение статистики критерия T с критическим значением t_krit. Если T попадает в критическую область, то отвергаем нулевую гипотезу, иначе не отвергаем.

В данном случае T = 1,383 < 2,262, поэтому не отвергаем нулевую гипотезу.

2 задание:
Для оценки достоверности прибавки веса при уровне значимости 0,01 с критерия Манна-Уитни можно воспользоваться ранговым критерием.

Шаг 1: Соединим две выборки в одну выборку и рассчитаем ранги для каждого значения, включая повторяющиеся значения.

К.гр.: 305 312 320 324 330 360 380 390 400
Э.гр.: 361 384 421 430 440 480 492 500

Объединенная выборка: 305 312 320 324 330 360 380 390 400 361 384 421 430 440 480 492 500

Рассчитаем ранги для значений выборки, учитывая повторяющиеся значения:
Ранги для значений К.гр.: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ранги для значений Э.гр.: 10 11 12 13 14 15 16 17

Шаг 2: Вычислим значение U для каждой выборки:
U_1 = n_1 * n_2 + n_1 * (n_1 + 1) / 2 - R_1
U_2 = n_1 * n_2 + n_2 * (n_2 + 1) / 2 - R_2

Подставим значения:
U_1 = 5 * 8 + 5 * (5 + 1) / 2 - 45 = 64
U_2 = 6 * 8 + 6 * (6 + 1) / 2 - 90 = 66

Шаг 3: Найдем значение U_0 для нулевой гипотезы, где U_0 = n_1 * n_2 / 2. В данном случае U_0 = 5 * 6 / 2 = 15.

Шаг 4: Найдем критическую область. У нас двусторонняя альтернативная гипотеза, поэтому критическая область будет состоять из двух хвостов по α/2 каждый.

Найдем критическое значение U для α/2 = 0,01/2 = 0,005:
U_krit = n_1 * n_2 - U(alpha/2) + 1

Находим U_krit для α/2 = 0,005 и n_1 * n_2 = 5 * 6 = 30:
U_krit = 30 - U(0,005) + 1

По таблице критических значений критерия Манна-Уитни для выборок объемом до 10 и уровнем значимости 0,01/2 = 0,005 получаем U(0,005) = 53.

Подставляем значения:
U_krit = 30 - 53 + 1 = -22

Шаг 5: Сравниваем значение U для каждой выборки с критическим значением U_krit.

В данном случае U_1 = 64 > -22 и U_2 = 66 > -22, поэтому не отвергаем нулевую гипотезу.

Таким образом, при уровне значимости 0,01 оценка достоверности прибавки веса для экспериментальной и контрольной групп не является статистически значимой.