Question

Найдите коэффициент при x^2 многочлена (x^2−x+1)^999.

Answer 1

Чтобы найти коэффициент при x^2 в многочлене (x^2 - x + 1)^999, необходимо разложить его в каноническую форму.

Мы можем использовать формулу для возведения квадратного трехчлена в степень:

(a - b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n по k.

В нашем случае a = x^2, b = -x, n = 999. Подставим значения в формулу и найдем коэффициент при x^2:

(x^2 - x + 1)^999 = C(999, 0) * (x^2)^999 * (-x)^0 + C(999, 1) * (x^2)^998 * (-x)^1 + C(999, 2) * (x^2)^997 * (-x)^2 + ... + C(999, 999) * (x^2)^0 * (-x)^999.

Нам нужен только первый член с x^2, поэтому мы не будем рассматривать остальные члены. Поскольку у x^2 нет вхождений во втором множителе каждого члена, его степень останется неизменной, и мы можем сосчитать только степени x^2.

Теперь рассмотрим первый член с x^2:

C(999, 0) * (x^2)^999 * (-x)^0 = 1 * x^(2*999) * 1 = x^1998.

Таким образом, коэффициент при x^2 в многочлене (x^2 - x + 1)^999 равен 1.

Итак, ответ: коэффициент при x^2 равен 1.