даны координаты точек А1 А2 А3 А4 известно что отрезки А1 А2 А1 А3 А1 А4 являются смежными ребрами Параллелепипеда найти длину ребра А1 А2, угол между ребрами А1 А2 и А1 А3, площадь грани,содержащий вершины А1 А2 А3, Объем Параллелепипеда, если А1(3;5;4) А2(8;7;4) А3(5;10;4) А4(4;7;8)
1. Длина ребра А1 А2:
Для нахождения длины ребра А1 А2, нам нужно найти расстояние между точками А1 и А2.
Используем формулу по расстоянию между двумя точками в трехмерном пространстве:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
где x1, y1, z1 - координаты точки А1,
x2, y2, z2 - координаты точки А2.
Подставим координаты точек А1(3;5;4) и А2(8;7;4) в формулу:
d = √((8-3)^2 + (7-5)^2 + (4-4)^2)
= √(5^2 + 2^2 + 0^2)
= √(25 + 4 + 0)
= √(29)
≈ 5.385
Таким образом, длина ребра А1 А2 составляет примерно 5.385.
2. Угол между ребрами А1 А2 и А1 А3:
Для нахождения угла между ребрами, нам понадобится знание скалярного произведения векторов.
Векторами будут являться направления ребер.
Вектор направления ребра А1 А2 будет равен [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1],
где x1, y1, z1 - координаты точки А1,
x2, y2, z2 - координаты точки А2.
Аналогично, вектор направления ребра А1 А3 будет равен [x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1],
где x3, y3, z3 - координаты точки А3.
Затем найдем скалярное произведение этих векторов:
вектор1 • вектор2 = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1)
Подставим координаты точек А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4) в формулу:
вектор1 • вектор2 = (8 - 3)(5 - 3) + (7 - 5)(10 - 5) + (4 - 4)(4 - 4)
= (5)(2) + (2)(5) + (0)(0)
= 10 + 10 + 0
= 20
Затем найдем длины векторов:
|вектор1| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
= √((8-3)^2 + (7-5)^2 + (4-4)^2)
= √(5^2 + 2^2 + 0^2)
= √(29)
≈ 5.385
|вектор2| = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)
= √((5-3)^2 + (10-5)^2 + (4-4)^2)
= √(2^2 + 5^2 + 0^2)
= √(29)
≈ 5.385
Наконец, найдем угол между ребрами:
cos(θ) = (вектор1 • вектор2) / (|вектор1| * |вектор2|)
cos(θ) = 20 / (5.385 * 5.385)
≈ 0.743
θ = arccos(0.743)
≈ 41.44°
Таким образом, угол между ребрами А1 А2 и А1 А3 составляет примерно 41.44°.
3. Площадь грани, содержащей вершины А1 А2 А3:
Для нахождения площади грани, нам понадобится знание векторного произведения векторов, лежащих в плоскости грани.
Вектор в плоскости грани будет равен векторному произведению векторов А1 А2 и А1 А3:
вектор_грани = вектор1 x вектор2
где вектор1 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1] и
вектор2 = [x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1]
подставим координаты точек А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4) в формулу:
вектор1 = [8 - 3, 7 - 5, 4 - 4] = [5, 2, 0]
вектор2 = [5 - 3, 10 - 5, 4 - 4] = [2, 5, 0]
Теперь найдем векторное произведение:
вектор_грани = [вектор1y * вектор2z - вектор1z * вектор2y,
вектор1z * вектор2x - вектор1x * вектор2z,
вектор1x * вектор2y - вектор1y * вектор2x]
= [(2*0) - (0*5),
(0*2) - (5*0),
(5*5) - (2*2)]
= [0, 0, 21]
Длина вектора в плоскости грани будет равна:
|вектор_грани| = √(0^2 + 0^2 + 21^2)
= √441
= 21
Таким образом, площадь грани, содержащей вершины А1 А2 А3, составляет 21.
4. Объем параллелепипеда:
Для нахождения объема параллелепипеда, нам понадобится знание векторного произведения двух любых ребер.
Найдем векторное произведение векторов А1 А2 и А1 А3:
вектор_параллелепипеда = вектор1 x вектор2
подставим координаты точек А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4) в формулу:
вектор_параллелепипеда = [вектор1y * вектор2z - вектор1z * вектор2y,
вектор1z * вектор2x - вектор1x * вектор2z,
вектор1x * вектор2y - вектор1y * вектор2x]
= [(2*0) - (0*5),
(0*2) - (5*0),
(5*5) - (2*2)]
= [0, 0, 21]
Объем параллелепипеда можно найти как модуль смешанного произведения векторов А1 А2, А1 А3 и А1 А4:
объем_параллелепипеда = |(вектор_параллелепипеда • вектор_параллелепипеда_2)|
вектор_параллелепипеда_2 = [x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1]
подставим координаты точек А1(3;5;4), А4(4;7;8) в формулу:
вектор_параллелепипеда_2 = [4 - 3, 7 - 5, 8 - 4] = [1, 2, 4]
Объем_параллелепипеда = |(вектор_параллелепипеда • вектор_параллелепипеда_2)|
= |([0, 0, 21] • [1, 2, 4])|
= |(0*1 + 0*2 + 21*4)|
= |(0 + 0 + 84)|
= 84
Таким образом, объем параллелепипеда равен 84.
Полученные значения:
- Длина ребра А1 А2 ≈ 5.385
- Угол между ребрами А1 А2 и А1 А3 ≈ 41.44°
- Площадь грани, содержащей вершины А1 А2 А3 = 21
- Объем параллелепипеда = 84.