Question

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y=f(x)
y=2x^3-9x^2+12x-3

Answer 1

Чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы функции y=f(x)=2x^3-9x^2+12x-3, нужно следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Найдите производную функции y по x, чтобы получить функцию y'.

y' = f'(x) = 6x^2 - 18x + 12

Шаг 2: Решите уравнение y'=0, чтобы найти точки, в которых производная обращается в 0. Эти точки будут потенциальными местами экстремумов функции.

6x^2 - 18x + 12 = 0

Шаг 3: Решите уравнение из Шага 2, чтобы найти значения x, в которых y' равно 0.

Для этого уравнения можно применить метод дискриминанта. Вы можете найти дискриминант D как D = b^2 - 4ac, где a=6, b=-18, c=12.

D = (-18)^2 - 4 * 6 * 12 = 324 - 288 = 36

Так как дискриминант положительный (D>0), то уравнение имеет два действительных корня.

x = (-(-18) ± √36) / (2 * 6)
x = (18 ± 6) / 12
x1 = (18 + 6) / 12 = 24 / 12 = 2
x2 = (18 - 6) / 12 = 12 / 12 = 1

Шаг 4: Используйте найденные значения x, чтобы определить интервалы монотонности и типы экстремумов.

Для этого построим таблицу знаков производной.

x | -∞ | 1 | 2 | +∞
y' | + | 0 | - | +

Исходя из таблицы знаков производной, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция f(x) возрастает в интервале (-∞, 1)
- Функция f(x) достигает локального минимума при x=1
- Функция f(x) убывает в интервале (1, 2)
- Функция f(x) достигает локального максимума при x=2

Шаг 5: Найдите значения функции y при найденных значениях x, чтобы получить точки экстремумов.

Для x=1:
y = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 3 = 2 - 9 + 12 - 3 = 2

Для x=2:
y = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1

Итак, мы получили следующие результаты:

- Интервал монотонности: фунция возрастает на интервале (-∞, 1) и убывает на интервале (1, 2).
- Экстремумы: функция имеет локальный минимум при x=1 (y=2) и локальный максимум при x=2 (y=1).