Question

Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой с найдите тот, площадь которого наибольшая

Answer 1

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
S=a*b/2, где a,b катеты.
Поскольку гипотенуза будет являться постоянной величиной c то мы можем выразить один катет через второй и гипотенузу.
По теореме Пифагора
b²=с²-a²
b=√(с²-a²)
Тогда площадь треугольника равна:
S=a√(с²-a²)/2

Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти ее производную.
Как нам известно катеты - величина переменная, а гипотенуза постоянная, поэтому дифференциировать необходимо по катету a.
S'=(a*√(c²-a²)/2)'=1/2(√(a²c²-a⁴)'=1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(a²*c²-a⁴)'=1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(2ac²-4a³)
S'=0
1/2(a²*c²-a⁴)⁻¹/²(2ac²-4a³)=0
$\frac{2ac^2-4a^3}{ \sqrt{a^2c^2-4a^3} }=0$
Знаменатель не может быть равен 0.
2ac²-4a³=0
2a(c²-2a²)=0
a=0 катет не может принимать значение 0.
c²-2a²=0
с²=2а²
с=√2а
b=√((√2a)²-a²)=a

Значит максимальную площадь имеет треугольник с равными катетами.

ответ площадь прямоугольного треугольника наибольшая, если он равнобедренный.