Question

Найти y как функцию t если:

3y''+35y=0,

y(0)=6, y'(0)=5

y(t)=?

Напишите свой ответ через синусы и косинусы, а не через экспоненты.

Answer 1

Для решения данного дифференциального уравнения, используем характеристическое уравнение:

3r^2+35=0,

где r - неизвестное значение. Решим данное уравнение:

3r^2=-35,
r^2=-35/3,
r=±√(-35/3).

Так как мы ищем решение через синусы и косинусы, то нам нужны мнимые корни. Выразим √(-35/3) в виде √(35/3) * i:

r=±√(35/3) * i.

Теперь, используя формулу комплексного числа: a+bi, где a и b - действительные числа, получим следующее:

r1 = 0 + √(35/3) * i = √(35/3) * i,
r2 = 0 - √(35/3) * i = -√(35/3) * i.

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения в виде:

y(t) = C1 * cos(√(35/3) * t) + C2 * sin(√(35/3) * t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Чтобы найти эти постоянные, воспользуемся начальными условиями y(0)=6 и y'(0)=5.

Подставив t=0 в общее решение и используя y(0)=6, получим:

6 = C1 * cos(√(35/3) * 0) + C2 * sin(√(35/3) * 0),
6 = C1 * cos(0) + C2 * sin(0),
6 = C1 * 1 + C2 * 0,
6 = C1.

Теперь найдем производную общего решения:

y'(t) = -C1 * √(35/3) * sin(√(35/3) * t) + C2 * √(35/3) * cos(√(35/3) * t).

Подставим t=0 в y'(t) и используя y'(0)=5, получим:

5 = -C1 * √(35/3) * sin(√(35/3) * 0) + C2 * √(35/3) * cos(√(35/3) * 0),
5 = -C1 * √(35/3) * sin(0) + C2 * √(35/3) * cos(0),
5 = -C1 * √(35/3) * 0 + C2 * √(35/3) * 1,
5 = C2 * √(35/3),
C2 = 5 / √(35/3),
C2 = 5√(3/35)/3.

Теперь мы можем записать окончательное решение дифференциального уравнения:

y(t) = 6 * cos(√(35/3) * t) + (5√(3/35)/3) * sin(√(35/3) * t).

Это и есть искомое решение y(t) как функция t.