Question

Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней z1=2+i

Answer 1

Нам требуется составить квадратное уравнение вида

$az^{2} +bz+c=0$

Где a, b и c - действительные числа

$z_0=2+i$

Допустим мы составляем приведенное уравнение (a=1).

Тогда по теореме Виета

$z_1+2+i=-b$

$(2+i)z_1=c$

Для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять $z_1$ за сопряженное с $z_0$, т.е. $z_1=2-i$.

Логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы $z_1$ содержал комплексную часть, равную $-i$. Данное условие у нас уже соблюдается.

$b=-(2+i+2-i)=-4$

$c=(2+i)(2-i)=4-(-1)=5$

Теперь мы можем составить уравнение:

$z^{2}-4z+5=0$

Проверка:

$D=16-20=-4=(2i)^{2}$

$z_0=\frac{4+2i}{2} =2+i$

$z_1=2-i$

ответ: $z^{2}-4z+5=0$