Question

Известны координаты вершин треугольника. Составить уравнения его сторон; уравнение высоты, опущенной из вершины А; уравнение средней линии, параллельной стороне АС. Найти внутренний угол треугольника при вершине В и расстояние от точки С до противолежащей стороны. А(-1; 0), В(3; 2), С(5; -2);

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника: А(-1; 0), В(3; 2), С(5; -2).

Составить:

1) уравнения его сторон.  

Находим векторы.

АВ = (3-(-1); 2-0) = (4; 2),

ВС = (5-3; -2-2) = (2; -4),

АС = (5-(-1); -2-0) = (6; -2).

Получаем канонические уравнения сторон.

АВ: (x + 1)/4 = y/2,

BC: (x – 3)/2 = (y – 2)/(-4),

AC: (x + 1)/6 =y/(-2).

Их можно представить в общем виде.

АВ: x – 2y + 1 = 0,

BC: 2x + y – 8 = 0,

AC: x + 3y + 1 = 0.

2) уравнение высоты, опущенной из вершины А.

Это перпендикуляр к стороне ВС. У него коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются по сравнению  с ВС на –В и А.

Получаем –x + 2y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: -1*(-1) + 2*0 + С = 0, отсюда С = -1 - 0 = -1.

ответ: -x + 2y – 1 = 0.

3) уравнение средней линии, параллельной стороне АС.  

Находим точку М – середину стороны АВ.

М = (А(-1; 0), В(3; 2))/2 = (1; 1).

Направляющий вектор средней линии равен вектору АС(6; -2).

Получаем уравнение MN:

(x – 1)/6 = (y – 1)/(-2).

Найти:

4) внутренний угол треугольника при вершине В.

Находим векторы ВА и ВС.

ВА = -АВ = (-4; -2), модуль равен √(16 + 4) = √20 = 2√5.

ВС = (2; -4), модуль равен √(4 + 16) = √20 = 2√5.

cos B = (-4*2 + (-2)*(-4)/( 2√5*2√5) = (-8 + 8)/20 = 0.

Угол В = arccos 0 = 90 градусов.

5) расстояние от точки С до противолежащей стороны.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C|

             √(A² + B²)

Подставим в формулу данные: АВ: x – 2y + 1 = 0, С(5; -2).

d = |1·5 + (-2)·(-2) + 1|         |5 + 4 + 1|    

            √(1² + (-2)²)        =      √(1 + 4)      =

= 10/√5 = 2√5 ≈ 4.4721.