Question

Визначити дві останні цифри числа

${2}^{2002}$

Answer 1

ответ: 04

Пошаговое объяснение:

Найдем некоторые две степени двоек, которые оканчиваются на одинаковые две цифры, то есть их разность будет кратна 100:

2^(n+m) - 2^n = 100k, где n,m,k - натуральные числа, причем m,n>1.

2^n * (2^m - 1) = 100k

Откуда: 2^m - 1 должно быть кратно 25, а значит последние две цифры числа 2^m могут быть следующими: 01; 51; 26;76, однако при m>1 число 2^m кратно 4, иначе говоря, число, образованное последними  2-мя цифрами, также должно быть кратно 4, то есть подходит только 76.

Попробуем найти такое число 2^m.  Заметим, что 2^10 = 1024, тогда число:

2^20 = (1000 + 24)^2 = 1000^2 +48000 + 24^2 = 1000^2 +48000 + 576 - кончается на 76.

Таким образом:

2^2 * (2^20 - 1) =  2^22 - 2^2 - кратно 100, то есть  числа 2^2 и 2^22 кончаются на одинаковые две цифры.

Но тогда и числа:  2^2=4 и 2^(2+20*100) = 2^2002 кончаются на одинаковые 2 цифры, то есть 2^2002 оканчивается на 04.