Question

Вычислите площадь треугольника, отсекаемого прямой, заданной параметрически: x=7t+3, y=8t+9, от координатного угла. Если ответ не является целочисленным, запишите его в виде десятичной дроби, округлив до трех знаков после запятой.

Answer 1

Для вычисления площади треугольника, отсекаемого прямой, нужно знать координаты вершин этого треугольника. В данном случае, вершина A треугольника будет являться точкой, в которой параметрически заданная прямая пересекает ось ординат (ось y).

Для определения точки пересечения с осью ординат, нужно приравнять y к нулю и решить уравнение:
8t + 9 = 0.
Вычтем 9 из обеих сторон:
8t = -9.
Разделим обе части на 8:
t = -9/8 = -1.125.

Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты A(3, 0).

Далее нам нужно найти точку B, которая будет пересечением прямой с осью абсцисс (ось x). Для этого нужно приравнять x к нулю и решить уравнение:
7t + 3 = 0.
Вычтем 3 из обеих сторон:
7t = -3.
Разделим обе части на 7:
t = -3/7 ≈ -0.429.

Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты B(0, 9).

Третья вершина треугольника будет задана параметрами x и y, взятыми в какой-то другой точке на прямой. Для простоты вычислений, выберем t = 1:
x = 7t + 3 = 7*1 + 3 = 10,
y = 8t + 9 = 8*1 + 9 = 17.

Итак, третья вершина треугольника имеет координаты C(10, 17).

Теперь, мы можем вычислить площадь треугольника, используя формулу площади треугольника на плоскости:
S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|,
где |...| обозначает модуль числа.

Подставим координаты вершин треугольника в формулу и вычислим площадь:
S = 0.5 * |3(17 - 9) + 0(9 - 17) + 10(9 - 17)| = 0.5 * |-12 - 40| = 0.5 * |-52| = 26.

Ответ: Площадь треугольника, отсекаемого параметрически заданной прямой, равна 26 единицам площади.

Если требуется выразить ответ в виде десятичной дроби, округленной до трех знаков после запятой, то ответ будет следующим: S ≈ 26.000.