Question

Точка пересечения медиан треугольника АВС имеет координаты (β ;2;- β ). Найдите значения параметров α, β и γ , если вершины треугольника имеют координаты A(1;1; α); B(β;2;-5) и С(5; γ ;-4)? В ответе написать α+ β + γ.

Answer 1

Для начала, определим координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

Медианы треугольника делят каждую из его сторон на две равные части. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника, и ее координаты могут быть найдены как среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Таким образом, для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника АВС, найдем среднее арифметическое координат вершин треугольника.

x-координата центра тяжести (точки пересечения медиан) равна (1 + β + 5) / 3 = (6 + β) / 3 = 2 + β / 3
y-координата центра тяжести равна (1 + 2 + γ) / 3 = (3 + γ) / 3 = 1 + γ / 3
z-координата центра тяжести равна (α - 5 - 4) / 3 = (α - 9) / 3

Исходя из условия, мы знаем, что координаты центра тяжести равны (β, 2, -β), поэтому:

2 + β / 3 = β
1 + γ / 3 = 2
(α - 9) / 3 = -β

Решим каждое уравнение по очереди.

1) 2 + β / 3 = β
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от деления:
6 + β = 3β
2β = 6
β = 3

2) 1 + γ / 3 = 2
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
γ / 3 = 1
γ = 3

3) (α - 9) / 3 = -β
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от деления:
α - 9 = -3β
α - 9 = -3 * 3
α - 9 = -9
α = 0

Теперь найдем сумму значений α, β и γ:
α + β + γ = 0 + 3 + 3 = 6

Таким образом, значения параметров α, β и γ равны 0, 3 и 3 соответственно, а их сумма равна 6.