1,5 и 1/8
Пошаговое объяснение:
(3y+1)^2-(5y-2)^2=0
(3y+1)^2 = (5y-2)^2
Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны.
Рассмотрим первый случай: числа равны, т.е.
3y+1 = 5y-2
3y - 5у = - 1 - 2
- 2у = - 3
у = - 3: (-2)
у = 1,5.
Рассмотрим второй случай: числа противоположны, т.е.
3y+1 = - (5y-2)
3y+1 = - 5y + 2
3у + 5у = 2 - 1
8у = 1
у = 1 : 8
у = 1/8.
Объединяя полученные решения, запишем, что 1,5 и 1/8 - корни уравнения.
Второй
(3y+1)² - (5y-2)² = 0
Применим формулу разности квадратов:
(3у+1-(5у - 2))•(3у+1+5у-2)=0
(3у+1-5у+2)(8у-1) = 0
(-2у+3)(8у-1) = 0
-2у+3 = 0 или 8у - 1 = 0
1) -2у+3 = 0
-2у= -3
у = 1,5
2) 8у - 1 = 0
8у = 1
у = 1/8.
Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной в интеграле. Поясним суть этого метода. Пусть F'(x)=f(x), тогда
\int f(x)\,dx= \int F'(x)\,dx= \int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C.
Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство d\bigl(F(x)\bigr)=F'(x)\,dx= f(x)\,dx остается справедливым и в случае, когда {x} — промежуточный аргумент, т.е. x=\varphi(t). Это значит, что формула \textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C} верна и при x=\varphi(t). Таким образом,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,d\bigl(\varphi(t)\bigr)= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C, или \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= F\bigl(\varphi(t)\bigr)+C.
Итак, если F(t) является первообразной для f(x) на промежутке {X}, а x=\varphi(t) — дифференцируемая на промежутке {T} функция, значения которой принадлежат {X}, то F\bigl(\varphi(t)\bigr) — первообразная для f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t),~t\in T, и, следовательно,
\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt= \int f(x)\,dx\,.
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла \textstyle{\int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt} к вычислению интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx}. При этом мы подставляем вместо \varphi(t) переменную {x}, а вместо \varphi'(t)\,dt дифференциал этой переменной, т. е. dx. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла \textstyle{\int f(x)\,dx} надо снова заменить {x} на \varphi(t).
Пример 1. Вычислим \int\cos2t\,dt.
Решение. Введем новую переменную {x}, положив 2t=x. Тогда 2\,dt=dx,~dt=\frac{1}{2}\,dx и, следовательно,
\int\cos2t\,dt= \int\cos{x}\,\frac{1}{2}\,dx= \frac{1}{2}\int\cos{x}\,dx= \frac{1}{2}\sin{x}+C= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Замечание. Вычисление короче записывают так:
\int\cos2t\,dt= \frac{1}{2}\int\cos2t\,d(2t)= \frac{1}{2}\sin2t+C.
Пошаговое объяснение: