шестиугольников было всего 2.
Пошаговое объяснение:
Каждый пятиугольник дает 5 вершин, шестиугольник - 6. Пусть пятиугольников было х, шестиугольников у. Тогда получаем уравнение с двумя неизвестными:
5х +6у = 32.
Поскольку вершин 32, то не могло быть так, что все фигуры были пятиугольниками (иначе бы число вершин оканчивалось 0 или 5). Максимум шестиугольников могло быть 32:6 = 5 ост 2. Остаток в 2 вершины нас не устроит, так как из них "не собрать" пятиугольник. Остаток должен быть кратен 5 (5, 10, 15 и так далее). Нечетные остатки получить не получится (6у заведомо четное число, а при вычитании из 32 ответ получится четным). Значит лишних вершин могло быть 10 или 20. Если их было 10, то на шестиугольники остается 22 вершины, что не кратно 6. Значит на пятиугольники пришлось 20 вершин, а на шестиугольники - 12. Отсюда - шестиугольников было всего 2.
Найти координаты точки Q, симметричной точке P(3; -4; 6) относительно плоскости, проходящей через точки M1(-6; 1; -5), M2(7; -2; -1), M3(10;-7;1).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-6) y – 1 z - (-5)
7 - (-6) (-2) – 1 (-1) - (-5)
10 - (-6) (-7) – 1 1 - (-5) = 0
x - (-6) y – 1 z - (-5)
13 -3 4
16 -8 6 = 0
(x - (-6))(-3·6-4·(-8) – (y – 1)(13·6-4·16) + (z - (-5))(13·(-8)-(-3)·16) = 0
14(x - (-6)) + (-14)(y – 1) + (-56)(z - (-5)) = 0
14x - 14y - 56z - 182 = 0
x - y - 4z - 13 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (1; -1; -4) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки Р(3; -4; 6).
((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
Координаты, которые имеет точка пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).
{x - y - 4z - 13 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
-x + 3 = y + 4, отсюда y = -x – 1.
-4x + 12 = z – 6, отсюда z = -4x + 18.
Подставим их в уравнение плоскости.
x – (-x – 1) – 4(-4x + 18) - 13 = 0,
x + x + 1 + 16x – 72 – 13 = 0,
18x = 84,
x = 84/18 = 14/3,
y = (-14/3) – 1 = -17/3,
z = -4*(14/3) + 18 = -2/3.
Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки Р к плоскости.
Теперь можно определить точку Q, симметричную точке Р относительно точки Е в заданной плоскости по формуле симметрии.
x(Q) = 2*x(E) – x(P) = 2*(14/3) – 3 = 19/3.
y(Q) = 2*y(E) – y(P) = 2*(-17/3) – (-4) = -22/3.
z(Q) = 2*z(E) – z(P) = 2*(-2/3) – 6 = -22/3.
ответ: точка Q((19/3); (-22/3); (-22/3)).