Question

1. Преобразуйте в произведение: 1) sin α +sin 2 α +sin 4 α +sin 5 α =
2) sin 2 α + 2 sin cos =

2. Вычислите:
1) sin 2 , cos 2 и tg2 , если sin =l/2 и /2< <

2) sin ( /2), cos( /2) и tg( /2), если cos = 3/5 и 3 /2< <2

Answer 1

1) Преобразуем первое уравнение:

sin α + sin 2α + sin 4α + sin 5α

Мы знаем, что sin (a+b) = sin a * cos b + cos a * sin b.

Поэтому, мы можем применить это тождество к каждому слагаемому:

sin α + sin 2α + sin 4α + sin 5α = sin α + (sin α * cos α + cos α * sin α) + (sin α * cos 3α + cos α * sin 3α) + (sin α * cos 4α + cos α * sin 4α)

Далее, мы можем сгруппировать слагаемые:

sin α + sin α * cos α + sin α * cos 3α + sin α * cos 4α + cos α * sin α + cos α * sin 3α + cos α * sin 4α

Заметим, что sin α * cos α + cos α * sin α = 2sin α * cos α и sin α * cos 3α + cos α * sin 3α = 2sin α * cos 3α.

sin α + 2sin α * cos α + 2sin α * cos 3α + cos α * sin 4α

Теперь, возьмем общий множитель sin α:

sin α(1 + 2cos α + 2cos 3α + sin 4α)

Таким образом, мы получаем, что данное выражение может быть преобразовано в произведение:

sin α * (1 + 2cos α + 2cos 3α + sin 4α)

2) Преобразуем второе уравнение:

sin 2α + 2sin α * cos α

Мы знаем, что sin (2a) = 2sin a * cos a.

Поэтому, мы можем заменить sin 2α на 2sin α * cos α:

2sin α * cos α + 2sin α * cos α

Объединяем слагаемые:

4sin α * cos α

Таким образом, данное выражение может быть преобразовано в произведение:

4sin α * cos α

Теперь перейдем ко второй части вопроса:

1) Дано: sin = 1/2 и π/2 < α < π.

Нам нужно вычислить sin^2 α, cos^2 α и tg^2 α.

Мы знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1, поэтому:

cos^2 α = 1 - sin^2 α = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4.

tg α = sin α / cos α = (1/2) / (√(3/4)) = 1 / √3 = √3 / 3.

Тогда tg^2 α = (√3 / 3)^2 = 3/9 = 1/3.

2) Дано: cos α = 3/5 и 3π/2 < α < 2π.

Нам нужно вычислить sin (π/2 - α), cos (π/2 - α) и tg (π/2 - α).

Мы знаем, что sin (π/2 - α) = cos α, cos (π/2 - α) = sin α и tg (π/2 - α) = 1 / tg α.

Таким образом:

sin (π/2 - α) = cos α = 3/5,
cos (π/2 - α) = sin α = √(1 - (3/5)^2) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5,
tg (π/2 - α) = 1 / tg α = 1 / (3/4) = 4/3.