Question

У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них

12 ключей. Доска упала, и ключи рассыпались. Вахтёр собрал

ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность

события:

а) А «каждый ключ висит на своём крючке»;

б) В «хотя бы один ключ висит не на своём крючке»;

в) С «два каких-либо ключа перепутаны местами, а остальные

висят на своих крючках»;

г) D «ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на

своих

Answer 1

Добро пожаловать в класс! Погрузимся в анализ задачи.

а) Вероятность события А "каждый ключ висит на своём крючке" можно вычислить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Чтобы каждый ключ висел на своём крючке, нужно расположить 12 ключей на 12 крючках и при этом каждый ключ должен висеть на своём крючке. Заметим, что у нас имеется классическая задача о перестановках.

Общее число исходов получается как факториал числа ключей (12!):
n(общее число исходов) = 12!

Число благоприятных исходов равно 1, так как есть только один способ развесить ключи так, чтобы каждый ключ висел на своём крючке.

Таким образом, вероятность события А равна:
P(А) = числу благоприятных исходов / общему числу исходов
P(А) = 1 / 12!

б) Вероятность события В "хотя бы один ключ висит не на своём крючке" можно вычислить через дополнение: 1 - P(А).

P(В) = 1 - P(А)

Мы уже знаем, что P(А) равно 1 / 12!, поэтому можем подставить это значение:

P(В) = 1 - 1 / 12!

в) Вероятность события С "два каких-либо ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках" также можно вычислить через дополнение.

Общее число исходов все также равно 12!.

Теперь рассмотрим число благоприятных исходов. Есть два ключа, которые перепутаны, а остальные 10 ключей должны висеть на своих крючках. Мы можем выбрать 2 ключа для перестановки из 12 ключей C(12,2) способами. После этого остаются только 10 ключей, которые можно расположить на 10 крючках (10!).

Число благоприятных исходов равно: C(12,2) * 10!

Таким образом, вероятность события С равна:
P(С) = (C(12,2) * 10!) / 12!

г) Вероятность события D "ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные на своих" также можно вычислить через дополнение.

Общее число исходов все также равно 12!.

Теперь рассмотрим число благоприятных исходов. Есть только один ключ, который висит не на своём крючке, а остальные 11 ключей должны на своих крючках. Мы можем выбрать один ключ из 12 ключей C(12,1) способом. После этого остаются только 11 ключей, которые можно расположить вариантами, чтобы каждый висел на своём месте (11!).

Число благоприятных исходов равно: C(12,1) * 11!

Таким образом, вероятность события D равна:
P(D) = (C(12,1) * 11!) / 12!

Данные формулы позволяют нам вычислить вероятности каждого из событий. Не забудьте провести вычисления и получить конкретные значения вероятностей. Ответы на вопросы упражнения можно представить в виде десятичной или обыкновенной дроби, округлив результаты до требуемой точности.