Question

Решить задания с дифференциацильными уравнениями очень нужно разобраться!

Answer 1

$Y=\lfloor X\rfloor\sim Geom(1-e^{-\lambda}); EY=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$

Пошаговое объяснение:

С учетом определения целой части числа, имеем

$P(Y=k)=P(\lfloor X\rfloor=k)=P(k\leq X$

Заметим, что

$P(k+1\leq X|k\leq X)=\dfrac{P(k+1\leq X,k\leq X)}{P(k\leq X)}=[\{k+1\leq X\}\Rightarrow\{k\leq X\}]=\dfrac{P(k+1\leq X)}{P(k\leq X)}=\dfrac{1-P(X$

[К слову, можно доказать и более общую формулу, которая соответствует свойству под названием "отсутствие памяти"]

Возвращаемся к исходным расчетам:

$(*)=e^{-\lambda k}\cdot (1-e^{-\lambda})=(e^{-\lambda })^k\cdot (1-e^{-\lambda})$

Т.к. по определению $\lambda 0$, функция $f(t)=e^{-t}$ неотрицательна и монотонно убывает на $t0$,  причем $f(0)=1$, то $e^{-\lambda}\in[0;1]$. Но тогда и $1-e^{-\lambda}\in[0;1]$.

Отсюда, нетрудно заметить, наше распределение есть не что иное, как геометрическое распределение с параметром $p=1-e^{-\lambda}$.

Значит, матожидание $EY=\dfrac{1-p}{p}=\dfrac{e^{-\lambda}}{1-e^{-\lambda}}=\dfrac{1}{e^{\lambda}-1}$.