"Центр тяжести тела
Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным с тройного интеграла."
z0 = integral(z*dx*dy*dz) / integral(dx*dy*dz)
причем по z пределы интегрирования от 0 до 2/3, поскольку поверхность sqrt(x^2+y^2)=2 пересекает конус 3z=sqrt(x^2+y^2) как раз при z=2/3
integral(z*dx*dy*dz) = integral(z*(pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4z-9*z^3)*dz) = pi*(4z^2/2-9z^4/4) от 0 до 2/3 = pi*(4(2/3)^2/2-9*(2/3)^4/4) = 1.3962634
integral(dx*dy*dz) = integral((pi*2^2-pi*9*z^2)*dz) = pi* integral((4-9*z^2)*dz) = pi*(4z-9z^3/3) от 0 до 2/3 = pi*(4*(2/3)-9*(2/3)^3/3) = 5.5850536
z0 = 1.3962634/5.5850536 = 0.25
ответ: Точка А( 4; - 2; 2 ) належить даній сфері .
Пошаговое объяснение:
А (4; - 2; 2) ; (х - 3)² + (у + 1)² + z² = R² ; R = √6 ;
(х - 3)² + (у + 1)² + z² = 6 ;
підставляємо координати точки А у рівняння сфери :
А (4; - 2; 2) : ( 4 - 3 )² + (- 2 + 1 )² + 2 ² = 6 ;
1² + (- 1 )² + 2² = 6 ; - правильна рівність .
Отже, точка А( 4; - 2; 2 ) належить даній сфері .