Добрый день! Давайте рассмотрим уравнение |x+2|+4=2|x-1|+(a+1)x+2a и попробуем найти сумму всех целых a, при которых данное уравнение имеет больше двух решений.
Для начала, заметим, что у нас здесь абсолютные значения, поэтому нам нужно рассмотреть два случая: x+2 ≥ 0 и x+2 < 0.
При x+2 ≥ 0
В этом случае модуль |x+2| можно упростить, оставив его без изменений:
x+2+4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
При x+2 < 0
В этом случае модуль |x+2| можно упростить, сделав его отрицательным:
-(x+2) + 4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
- x - 2 + 4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
2 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
Теперь рассмотрим каждый из двух случаев отдельно.
Случай 1: x+2 ≥ 0
x+2+4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
x+6 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
Переносим все x на одну сторону уравнения и все числа на другую:
2a - 6 = 2|x-1| + (a+1)x - x - 2
2a - 6 = 2|x-1| + (a)x - 2
2a - 6 = 2|x-1| + ax - 2
Мы знаем, что модуль |x-1| оставляет свой аргумент положительным или нулевым, поэтому для различных значений a получим следующие слагаемые модуля:
- Если a > 2, то a * (x-1) будет положительным и 2|x-1| будет равно 2 * (x-1).
- Если a = 2, то a * (x-1) будет равно 0 и 2|x-1| будет равно 0.
- Если a < 2, то a * (x-1) будет отрицательным и 2|x-1| будет равно -2 * (x-1).
Теперь рассмотрим каждое из трех возможных значений модуля отдельно.
Для начала, заметим, что у нас здесь абсолютные значения, поэтому нам нужно рассмотреть два случая: x+2 ≥ 0 и x+2 < 0.
При x+2 ≥ 0
В этом случае модуль |x+2| можно упростить, оставив его без изменений:
x+2+4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
При x+2 < 0
В этом случае модуль |x+2| можно упростить, сделав его отрицательным:
-(x+2) + 4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
- x - 2 + 4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
2 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
Теперь рассмотрим каждый из двух случаев отдельно.
Случай 1: x+2 ≥ 0
x+2+4 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
x+6 = 2|x-1| + (a+1)x + 2a
Переносим все x на одну сторону уравнения и все числа на другую:
2a - 6 = 2|x-1| + (a+1)x - x - 2
2a - 6 = 2|x-1| + (a)x - 2
2a - 6 = 2|x-1| + ax - 2
Мы знаем, что модуль |x-1| оставляет свой аргумент положительным или нулевым, поэтому для различных значений a получим следующие слагаемые модуля:
- Если a > 2, то a * (x-1) будет положительным и 2|x-1| будет равно 2 * (x-1).
- Если a = 2, то a * (x-1) будет равно 0 и 2|x-1| будет равно 0.
- Если a < 2, то a * (x-1) будет отрицательным и 2|x-1| будет равно -2 * (x-1).
Теперь рассмотрим каждое из трех возможных значений модуля отдельно.
Слагаемое 1: 2 * (x-1)
2a - 6 = 2(x-1) + ax - 2
2a - 6 = 2x - 2 + ax - 2
2a - 6 = (2 + a)x - 4
Сравнивая коэффициенты при x, получаем следующие уравнения:
2 + a = 0 и - 4 = 0
Первое уравнение имеет решение a = -2, а второе уравнение - нет.
Слагаемое 2: 0
2a - 6 = 0
Отсюда получаем a = 3.
Слагаемое 3: -2 * (x-1)
2a - 6 = -2(x-1) + ax - 2
2a - 6 = -2x + 2 + ax - 2
2a - 6 = (-2 + a)x
Сравнивая коэффициенты при x, получаем следующие уравнения:
-2 + a = 0
Это уравнение имеет решение a = 2.
Итак, рассмотрев все три случая, мы нашли два значения a, при которых получаем больше двух решений уравнения: a = -2 и a = 2.
Таким образом, сумма всех целых a, при которых это уравнение имеет больше двух решений, равна -2 + 2 = 0.