Question

Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова
вероятность, что:
1. Три из них оформлены правильно?
2. Как минимум три оформлены неправильно?

Answer 1

Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Вероятность того, что три из 20 накладных оформлены правильно.

Дано, что 7% накладных оказываются неправильно оформленными, что означает, что 93% накладных оформлены правильно. У нас есть 20 накладных, и мы должны найти вероятность того, что три из них оформлены правильно.

Для этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как мы ищем вероятность "успеха" (правильное оформление) в независимых испытаниях (накладных). Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:
P(X=k) - вероятность, что из n испытаний произойдет k успехов;
C(n,k) - число сочетаний из n по k (обозначается nCk);
p - вероятность "успеха";
k - количество успехов;
n - общее количество испытаний.

Применим эту формулу к нашей задаче, где n=20, p=0.93 и k=3:

P(X=3) = C(20,3) * 0.93^3 * (1-0.93)^(20-3)

Теперь давайте посчитаем этот расчет:

C(20,3) = 20! / (3!(20-3)!) = 1140

P(X=3) = 1140 * 0.93^3 * (1-0.93)^(20-3)

P(X=3) ≈ 0.005614

Таким образом, вероятность того, что три из 20 накладных оформлены правильно, составляет примерно 0.56%.

2. Вероятность того, что как минимум три из 20 накладных оформлены неправильно.

Для решения этой задачи мы должны найти вероятность того, что три, четыре, пять и так далее накладных оформлены неправильно. Мы можем использовать комплементарную (дополнительную) вероятность, чтобы избежать сложных вычислений.

Пусть A - событие, что как минимум три накладных оформлены неправильно. Тогда комплементарная вероятность P(A') будет означать, что максимум две накладных оформлены неправильно. Мы можем найти P(A') и затем вычислить P(A) как 1 - P(A').

Давайте найдем P(A'). Количество накладных, оформленных неправильно, следует биномиальному распределению с параметрами n=20, p=0.07 и k=2:

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = C(20,0) * 0.07^0 * (1-0.07)^(20-0) + C(20,1) * 0.07^1 * (1-0.07)^(20-1) + C(20,2) * 0.07^2 * (1-0.07)^(20-2)

Считаем:

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1.104405563814942e-07 + 1.378545692894476e-06 + 9.131970173998419e-06

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ≈ 1.04802880938e-05

Теперь мы можем найти P(A) как 1 минус P(A'):

P(A) = 1 - 1.04802880938e-05

P(A) ≈ 0.999989519711

Таким образом, вероятность того, что как минимум три из 20 накладных оформлены неправильно, составляет примерно 99.99%.

Я надеюсь, что эти подробные пояснения помогли вам понять решение данной задачи. Если у вас еще есть вопросы, не стесняйтесь задавать.