Если у линейного уравнения есть целый корень, то и коэффициенты уравнения целые. Это неверно.
Линейное уравнение имеет вид . Или же .
Если у нас есть подходящий пример: целый корень и целые коэффициенты, то мы можем разделить оба коэффициента на одно и то же число. Очевидно, что тогда решение уравнения () останется таким же, а коэффициенты могут стать дробными.
Контрпример: . Корень уравнения - целый, а вот коэффициенты не все целые.
2).
Если свободный член линейного уравнения не равен нулю, то число ноль не является корнем этого уравнения. Это верно.
Наше линейное уравнение можно переписать в виде , причем . Но раз не равно нолю, то и произведение тоже никак не может быть нолем (в силу равенства двух частей уравнения). Из этого следует, что и ( - это то, что мы хотели получить).
Пример: - свободный член уравнения равен и корень уравнения тоже равен (); - свободный член уравнения не равен и корень уравнения - тоже не ().
3).
Существует линейное уравнение, равносильное уравнению , в котором коэффициент при неизвестном равен . Это верно.
Мы можем просто сократить левую и правую часть уравнения на число , и тогда у нас получится как раз и требуемое линейное уравнение (это ). У этих двух уравнений будут одинаковые корни, и, значит, они будут равносильными.
Пример: , - равносильное уравнение.
4).
Если в линейном уравнении коэффициент при неизвестном целый и делится на свободный член, то у уравнения есть целый корень. Это неверно.
Из того, что следует, что если свободный член () целый и нацело делится на коэффициент при неизвестном (), то у уравнения есть целый корень. Но не наоборот!
Контрпример: , коэффициент при неизвестном целый () и нацело делится на свободный член (), но решение какое-то не такое: .
1).
Если у линейного уравнения есть целый корень, то и коэффициенты уравнения целые. Это неверно.
Линейное уравнение имеет вид
. Или же 
.
Если у нас есть подходящий пример: целый корень и целые коэффициенты, то мы можем разделить оба коэффициента на одно и то же число. Очевидно, что тогда решение уравнения (
) останется таким же, а коэффициенты могут стать дробными.
Контрпример:2).
Если свободный член линейного уравнения не равен нулю, то число ноль не является корнем этого уравнения. Это верно.
Наше линейное уравнение можно переписать в виде
, причем 
. Но раз 
не равно нолю, то и произведение 
тоже никак не может быть нолем (в силу равенства двух частей уравнения). Из этого следует, что 
и 
(
- это то, что мы хотели получить).
Пример:3).
Существует линейное уравнение, равносильное уравнению
, в котором коэффициент при неизвестном равен 
. Это верно.
Мы можем просто сократить левую и правую часть уравнения на число
, и тогда у нас получится как раз и требуемое линейное уравнение (это 
). У этих двух уравнений будут одинаковые корни, и, значит, они будут равносильными.
Пример:4).
Если в линейном уравнении коэффициент при неизвестном целый и делится на свободный член, то у уравнения есть целый корень. Это неверно.
Из того, что
следует, что если свободный член (
) целый и нацело делится на коэффициент при неизвестном (
), то у уравнения есть целый корень. Но не наоборот!
Контрпример:Значит, верные утверждения: второе и третье.
ответ: 2, 3.