Question

Даны векторы а={3, -4, 2} и б={10, 7, -1}. Определить все векторы х такие, что [а, х] = б

Answer 1

Для решения данной задачи, мы должны найти вектор x, такой что скалярное произведение векторов а и x равно вектору б.
Скалярное произведение векторов a и x вычисляется по формуле: [a, x] = а₁*х₁ + а₂*х₂ + а₃*х₃, где а₁, а₂, а₃ - компоненты вектора а, а х₁, х₂, х₃ - компоненты вектора х.
Таким образом, для данной задачи, получаем следующую систему уравнений:
3x₁ - 4x₂ + 2x₃ = 10
-4x₁ + 7x₂ - x₃ = 7
2x₁ - x₂ = -1

Для решения данной системы уравнений, можно воспользоваться методом Гаусса или матричным методом.
Матричный метод предполагает запись данной системы уравнений в виде расширенной матрицы:

[3 -4 2 | 10]
[-4 7 -1 | 7]
[2 -1 0 | -1]

Затем необходимо привести расширенную матрицу к ступенчатому виду, применяя следующие элементарные преобразования строк:
1. Поменять местами первую и вторую строку
2. Умножить вторую строку на (3/4) и прибавить ее к первой строке
3. Умножить третью строку на (2/3) и прибавить ее к первой строке
4. Умножить третью строку на (7/3) и прибавить ее ко второй строке

[1 -3 0 | 10]
[0 29 -7 | 37]
[0 1 -1.3333 | -1.6667]

Далее, приводим расширенную матрицу к упрощенному ступенчатому виду:
1. Умножаем вторую строку на (1/29)
2. Умножаем третью строку на (1/1.3333) и прибавляем ее ко второй строке

[1 -3 0 | 10]
[0 1 -0.2414 | 1.2759]
[0 0 1 | -0.8929]

Теперь, имея упрощенную ступенчатую матрицу, можем записать систему уравнений:
x₁ - 3x₂ + 0x₃ = 10
x₂ - 0.2414x₃ = 1.2759
x₃ = -0.8929

Из третьего уравнения получаем значение x₃ = -0.8929, затем подставляем его во второе уравнение и находим x₂:
x₂ - 0.2414*(-0.8929) = 1.2759
x₂ ≈ 2.0171

Затем, подставляем найденные значения x₂ и x₃ в первое уравнение и находим x₁:
x₁ - 3*2.0171 + 0*(-0.8929) = 10
x₁ ≈ 16.8513

Таким образом, получаем вектор x = {16.8513, 2.0171, -0.8929}