Question

2. В каждую клетку таблицы 4x4 записаны натуральные числа таким образом, что произведения чисел в каждой строке и произведения чисел в каждом столбце равны между собой (все восемь произведений). Чему может быть равно число G? Найдите все варианты.

Answer 1

Чтобы найти возможные значения числа G, нам нужно рассмотреть свойства произведений чисел в каждой строке и каждом столбце.

В каждой строке таблицы, произведение чисел равно произведению всех четырех чисел в строке. Аналогично, в каждом столбце таблицы, произведение чисел равно произведению всех четырех чисел в столбце.

Пусть числа в каждой строке обозначены a, b, c и d (соответственно, числа в первом, втором, третьем и четвертом столбце). Тогда для каждой строки справедливо:

a * b * c * d = G ........ (1)

Пусть числа в каждом столбце обозначены p, q, r и s (соответственно, числа в первой, второй, третьей и четвертой строке). Тогда для каждого столбца справедливо:

p * q * r * s = G ........ (2)

Так как G должно быть одним и тем же для всех строк и столбцов, мы можем установить следующие равенства:

a * b * c * d = p * q * r * s ........ (3)

Заметим, что каждое число в таблице является натуральным числом и, следовательно, больше или равно 1. Также заметим, что наименьший возможный набор чисел в каждой строке или столбце - это 1, 1, 1 и 1.

Подставим эти значения в уравнение (3):

1 * 1 * 1 * 1 = 1 * 1 * 1 * 1

Таким образом, число G может быть равно 1.

Существуют и другие возможные комбинации чисел в каждой строке и столбце, которые удовлетворяют условию (3) и приводят к равенству числа G. Представим, что числа a, b, c и d равны 2, 3, 4 и 6 (соответственно) и числа p, q, r и s равны 1, 6, 4 и 3 (соответственно). Подставим эти значения в уравнение (3):

2 * 3 * 4 * 6 = 1 * 6 * 4 * 3

Получаем:

144 = 144

Таким образом, число G может быть равно 144.

Итак, существует два возможных значения числа G: 1 и 144.