4. Функция и ее композиции (а) Найдите все такие вещественные числа а, для которых существует функция f(x), заданная на множетсве вещественных чисел, такая, что выполняются два условия
f(f(x)) = f(x) + x, для всех вещественвых х
f(f(x) - x) - f(x) + ax, для всех вещественных х
(b) Можно ли продолжить дальше постросние таких композиций, прибавляя члены
со степенями х, большими, чем первая?
Есть такая теорема хорошая ,которая гласит
(loga x1,a не равно 0, x1>0,x>0);Тогда (xНачнём решать как в теореме ,основание>1,значит функция возрастает значит знак неравенства такой же останется
О.О.Н.
x^2-x-4>0
Решаем методом змейки
1)Приравняем к нулю
x^2-x-4=0
2)Разложим многочлен,решив это уравнение получим
х1,2=1+- √(-1)^2-4*1*(-4)/2
х1=1+ √17/2
х2=1- √17/2(не в О.О.У. так как x>0)
Разложим по формуле
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
Получим
x^2-x-4=(x-1+ √17/2)
Тогда
x-1+ √17/2>0
x=1- √17/2
тогда x€(1- √17/2;+бесконечности)-это О.О.Н.
приступим решать само уравнение
log2(x^2-x-4)Потенцируем и получим
x^2-x-4<8
x^2-x-12=0
x1,2=1+- √(-1)^2-4*1*(-12)/2
x1,2=1+- √49/2
x1=4
x2=-3(не входит в О.О.Н.)
О.О.Н. примерно равно -1,56:+бесконечности
Разложим многочлен
(х-4)<0
х=4
Отметив на координатной оси точку x=4 определим корни
x€(4;1- √17/2)
ответ: (4;1- √17/2)