Question

1.Решите неравенство: a) 4cosx/3<-3

b ) 3сtg (π/6+x/2)>-√3

с) sin π/4 cos x+cos π/4 sin x<-√2/2

2. Определить, сколько целых решений имеет неравенство на интервале  (0; 2p).

sin(2x+π/3)≤1/2

Answer 1

Добрый день! Давайте решим неравенства по очереди.

1.а) 4cosx/3 < -3

Для начала, переместим -3 на другую сторону неравенства: 4cosx/3 + 3 < 0

Затем, умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя: 4cosx + 9 < 0

После этого, выразим cosx: cosx < -9/4

Мы знаем, что значение cosx находится между -1 и 1, поэтому решений для данного неравенства нет. Ответ: нет решений.

1.б) 3ctg(π/6 + x/2) > -√3

Для начала, возьмем котангенс и развернем в терминах синуса: 3(1/tan(π/6 + x/2)) > -√3

Затем, заменим тангенс на синус и косинус: 3(1/(sin(π/6 + x/2)/cos(π/6 + x/2))) > -√3

Сокращаем и умножаем обе стороны на cos(π/6 + x/2): 3cos(π/6 + x/2) > -√3sin(π/6 + x/2)

Развернем cos и sin в значениях углов: 3(√3/2cos(x/2) - 1/2sin(x/2)) > -√3(1/2cos(x/2) + √3/2sin(x/2))

Раскроем скобки: (3√3/2cos(x/2) - 3/2sin(x/2)) > (-√3/2cos(x/2) - 3/2√3sin(x/2))

Сгруппируем и перенесем все на одну сторону: (3√3/2 + √3/2)cos(x/2) + (3/2√3 + 3/2)sin(x/2) > 0

Сократим слагаемые: 3√3cos(x/2) + 3/2sin(x/2) > 0

Заменим на синус и косинус целиком: sin(π/6 + x/2) > 0

Значение синуса положительно в первом и втором квадрантах.

Так как мы ищем решения на интервале (0; 2p), то подходит только первый квадрант, где sin(π/6 + x/2) > 0.

Ответ: на интервале (0; 2p) данному неравенству удовлетворяют все значения x, для которых 0 < π/6 + x/2 < π.

1.с) sin(π/4)cosx + cos(π/4)sinx < -√2/2

Упростим синус и косинус: 1/(√2)cosx + 1/(√2)sinx < -√2/2

Так как √2/2 > -√2/2, мы можем умножить обе части неравенства на √2: cosx + sinx < -1

Представим sinx и cosx в виде синуса суммы двух углов: sin(x+π/4) < -1

Значение синуса меньше -1 только в третьем и четвертом квадрантах.

На интервале (0; 2p) у данного неравенства нет решений. Ответ: нет решений.

2. sin(2x+π/3) ≤ 1/2

Рассмотрим сначала равенство: sin(2x+π/3) = 1/2

Найдем все решения для равенства. Для этого воспользуемся таблицей значений синуса:

для sin(x) = 1/2, значения x равны π/6 и 5π/6

Теперь найдем все значения, для которых sin(2x+π/3) ≤ 1/2

Заметим, что синус будет равен 1/2 при значениях 2x+π/3 = π/6 и 2x+π/3 = 5π/6

Теперь найдем все значения x:

Для 2x+π/3 = π/6 имеем x = (π/6 - π/3)/2 = -π/9

Для 2x+π/3 = 5π/6 имеем x = (5π/6 - π/3)/2 = π/9

Таким образом, имеем два решения на интервале (0; 2p): x = -π/9 и x = π/9. Ответ: два решения.

Надеюсь, данное решение понятно и полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!