Question

Даны точки А(5;3; -1) и B(1;-3;3). Найдите плоскость симметрии данных точек.

Варианты ответов:
1) 2x+3y-2z-4=0.
2) 2x+3y+2z+4 = 0
3) 2x+3y+2z-8 = 0
4) 2x-3y-2z-4 = 0

Answer 1

Так как точки А и В симметричны, относительно плоскости (Р), то эта плоскость проходит через середину отрезка АВ (точку С), принадлежащую этому отрезку.

Так как С - середина отрезка АВ, то

$xc = \frac{xa + xb}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ yc = \frac{ya + yb}{2} = \frac{ 3 + ( - 3)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \\ zc = \frac{za + zb}{2} = \frac{ - 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Тогда С (3; 0; 1)

Так как АВ перпендикулярна (Р), то вектор АВ можно принять за нормальный вектор плоскости (Р).

Вектор n = Вектор АВ = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = {1 - 5; - 3 - 3; 3 - (- 1)} = {- 4; - 6; 4}

Уравнение плоскости, проходящей через точку С (xc; yc; zc) перпендикулярно вектору n = {a; b; c;}

$a(x - xc) + b(y - yc) + c(z - zc) = 0 \\$

Имеем

С (3; 0; 1) и вектор n = {- 4; - 6; 4}

$- 4(x - 3) + ( - 6)(y - 0) + 4(z - 1) = 0 \\ - 4x + 12 - 6y + 0 + 4z - 4 = 0 \\ - 4x - 6y + 4z + 8 = 0$

Разделим уравнение на (-2), получим

$2x + 3y - 2z - 4 = 0$

ответ: 1)