Question

Даны векторы а (5;-3;-4) и b (-1;3;-1). Найдите: 1) Координаты вектора с=2а-3b 2)косинус угла между векторами а и b.

Answer 1

1) Чтобы найти координаты вектора c = 2a - 3b, нужно умножить каждую координату векторов a и b на соответствующий коэффициент и сложить полученные значения.

У нас даны векторы a(5, -3, -4) и b(-1, 3, -1).

Умножим каждую координату вектора a на 2: 2 * 5 = 10, 2 * -3 = -6, 2 * -4 = -8.

Умножим каждую координату вектора b на 3: 3 * -1 = -3, 3 * 3 = 9, 3 * -1 = -3.

Теперь сложим полученные значения: c = (10, -6, -8) + (-3, 9, -3).

Для сложения векторов просто складываем соответствующие координаты: (10 + (-3), -6 + 9, -8 + (-3)).

Распишем полученные значения: (7, 3, -11).

Таким образом, координаты вектора c = 2а - 3b равны (7, 3, -11).

2) Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, воспользуемся формулой:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|),

где (a · b) обозначает скалярное произведение векторов a и b, а |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов a и b:

(a · b) = 5 * -1 + (-3) * 3 + (-4) * -1 = -5 - 9 + 4 = -10.

Теперь найдем длины векторов a и b:

|a| = √(5^2 + (-3)^2 + (-4)^2) = √(25 + 9 + 16) = √50 ≈ 7.07,

|b| = √((-1)^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(1 + 9 + 1) = √11 ≈ 3.32.

Подставим полученные значения в формулу косинуса угла:

cos(θ) = (-10) / (7.07 * 3.32) ≈ -10 / 23.48 ≈ -0.43.

Таким образом, косинус угла между векторами a и b примерно равен -0.43.