Question

С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ 1) Вычислите sin (a/2), cos (a/2) и tg (a/2), если cos a = 3/5 и 3 п/2<а<2П
2) tg а=-12/5 если 3п/2<а<2п cos a/2-?

Answer 1

1) Для вычисления sin (a/2), cos (a/2) и tg (a/2) воспользуемся половинными углами тригонометрических функций.

a - угол, для которого известно, что cos a = 3/5 и 3π/2 < a < 2π.

Сначала найдем sin a по формуле:

sin^2 a = 1 - cos^2 a

sin^2 a = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25

sin a = ±√(16/25) = ±4/5

Так как 3π/2 < a < 2π, угол а лежит во второй четверти, где sin a < 0. Поэтому sin a = -4/5.

Половинные углы тригонометрических функций можно выразить через sin a/2 и cos a/2:

sin (a/2) = ±√[(1 - cos a)/2]
cos (a/2) = ±√[(1 + cos a)/2]
tg (a/2) = sin (a/2) / cos (a/2)

Воспользуемся формулами для вычисления sin (a/2), cos (a/2) и tg (a/2):

sin (a/2) = ±√[(1 - cos a)/2] = ±√[(1 - 3/5)/2] = ±√[2/5] = ±√2/√5 = ±√2/5
cos (a/2) = ±√[(1 + cos a)/2] = ±√[(1 + 3/5)/2] = ±√[8/10] = ±√8/√10 = ±√8/√(2*5) = ±√(8/2)/√5 = ±2√2/√5 = ±2√2/5
tg (a/2) = sin (a/2) / cos (a/2) = (±√2/5) / (±2√2/5) = (±√2/5) * (5/±2√2) = ±1/2

Таким образом, sin (a/2) = ±√2/5, cos (a/2) = ±2√2/5 и tg (a/2) = ±1/2.

2) Для вычисления cos (a/2) воспользуемся формулой cos (a/2) = ±√[(1 + cos a)/2].

У нас дано tg a = -12/5 и 3π/2 < a < 2π.

tg a = sin a / cos a

tg a = -4/5 / (3/5) = -4/3

Так как 3π/2 < a < 2π, угол а лежит в третьей четверти, где cos a < 0. Поэтому cos a = -3/5.

Воспользуемся формулой для вычисления cos (a/2):

cos (a/2) = ±√[(1 + cos a)/2] = ±√[(1 + (-3/5))/2] = ±√[2/5] = ±√2/√5 = ±√2/5

Таким образом, cos (a/2) = ±√2/5.